1) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей прямоугольника - центр описанной окружности. Вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания, следовательно боковые ребра равны и составляют равные углы с плоскостью основания.
В прямоугольном треугольнике ABC отношение сторон 1:√3:2, AC=12. AO=AC/2=6
△AOK - равнобедренный прямоугольный, острые углы 45. Угол между плоскостью основания и боковыми ребрами 45.
2) Угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
AH⊥(a), AH=2√2
AH перпендикулярна плоскости и любой прямой в плоскости.
В прямоугольном треугольнике ACH
sin(ACH)=AH/AC =2√2/4 =√2/2 => ACH=60
△ABC - равнобедренный прямоугольный, отношение сторон 1:1:√2, AB=4√2
В прямоугольном треугольнике ABH
sin(ABH)=AH/AB =2√2/4√2 =1/2 => ABH=30
3) △ABC - равнобедренный прямоугольный, AB=a√2
В прямоугольном треугольнике MAB
tg(MAB)=MB/AB =a/a√2 =√2/2 => MAB= acrtg(√2/2) ~35,26
CH - высота и медиана в △ABC, CH=AB/2 =a√2/2
Плоскость (AMB) проходит через перпендикуляр к плоскости (ABC), следовательно (AMB)⊥(ABC). Прямая CH лежит в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения (CH⊥AB), следовательно CH⊥(AMB). MH - проекция MC на плоскость (AMB).
△MBC - равнобедренный прямоугольный, MC=a√2
В прямоугольном треугольнике CMH
sin(CMH)=CH/MC =a√2/2 : a√2 =1/2 => CMH=30
