1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
Поскольку в данном случае треугольник - фигура плоская, то все его медианы лежат в плоскости треугольника. И если две медианы параллельны плоскости альфа, то и треугольник параллелен этой плоскости. Таким образом, прямая ВС параллельна плоскости альфа. Поскольку прямые, проведенные из В и С параллельны между собой, то расстояние между точками Е и F на плоскости альфа будет равно расстоянию между В и С в плоскости треугольника. А так как плоскость треугольника параллельна плоскости альфа, то ВС будет параллельна ЕF. Длины параллельных прямых проведенных из В и С будут равны между собой, поскольку они проходят между двумя параллельными плоскостями (плоскостью альфа и плоскостью треугольника) Мы получили, что в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны и параллельны. Значит этот четырехугольник параллелограмм.
