Вравностороннем треугольнике авс на стороне ав отложен отрезок аа1 = 1/3ав, на вс – отрезок вв1 = 1/3bc и на са – отрезок сс1 = 1/3са. докажите, что треугольник а1в1с1 равносторонний. !

ΔABC  - равносторонний, поэтому 1/3 каждой стороны равны между собой, и оставшиеся 2/3 каждой стороны равны между собой.

Рассмотрим 3 треугольника
ΔAA₁C₁   ΔBB₁A₁   ΔCC₁B₁
1) AA₁=BB₁=CC₁   как 1/3  равных отрезков
2) AC₁=BA₁=CB₁   как 2/3  равных отрезков
3)∠A=∠B=∠C=60°
Значит, 
ΔAA₁C₁ =  ΔBB₁A₁ =  ΔCC₁B₁
по двум сторонам и углу между ними.⇒
A₁C₁ = B₁A₁ =  C₁B₁  ⇒
ΔA₁B₁C₁ - равносторонний