Запишите ребра правильной приззмы abcdefa1b1c1d1e1f1, параллельные ребру а) aa1 ; б) ав​

Сделаем и рассмотрим рисунок. 
Т.к. высота делится на отрезки с отношением 5:3,  вся высота содержит 8 частей, и одна часть равна 32:8=4.
Тогда
r=ОН=4*3=12 см
ВО=4*5=20 см
Проведя радиус ОР в точку касания окружности и боковой стороны, получим прямоугольный треугольник ВРО.
По т. Пифагора 
ВР=√(ВО²-ОР²)=16 см
Треугольники ВРО и ВНС подобны - оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине В.
Коэффициент  их подобия k=ВН:ВР=32:16=2 ⇒
ВС=ВО*2=40 см
СР=ОР*2=24 см.
Высота равнобедренного треугольника еще и медиана. ⇒
АС=48
R=abc:4S
S, найденная по формуле Герона, равна 768 ( вычисления приводить нет нужды, при желании можно их проверить)
R=40*40*48:(4*768)=25 см
--------
[email protected]

Треугольник FAC и его ортоцентр - это центр вписанной окружности треугольника ABC

Объяснение: Автор задания не совсем удачно обозначил  центры вписанной и описанной окружностей. Обычно центр вписанной окружности  - это точка I, центр описанной - точка O.

С разрешения автора буду считать, что центр вписанной окружности - это I. Кстати, картинка не совсем удачная. Дело в том, что, как известно, на одной прямой (прямой Эйлера) находятся центр O описанной окружности, центроид (то есть точка G пересечения медиан)  и ортоцентр H. Центр же вписанной окружности лежит на этой прямой только если треугольник равнобедренный. Перехожу к решению.

Каждый из углов тр-ка ABC будем обозначать одной буквой - A, B, C. Значок градуса будем опускать. Из равнобедренного тр-ка EAC имеем: угол ECA=90-(A/2); из равноб. тр-ка ACD имеем: CAD=90-(C/2). Поэтому AFC=(A+C)/2. I лежит на биссектрисе угла BAC, то есть IAC=A/2, откуда DAI=DAC-IAC=90-(A+C)/2. То есть AFC+FAI=90, откуда AI перпендикулярно FC. Аналогично CI перпендикулярно  AF. Следовательно, центр вписанной окружности треугольника ABC является по совместительству - ортоцентром треугольника FAC.