Высота правильной треугольной пирамиды равна а√3, радиус окружности, описаной около ее основания, 2а. найдите: а) апоферму пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в)площадь боковой поверхности; г) плоский угол при вершине пирамиды. , !

Решение: 
1) Зная, что R=2а найдем сторону основания по формуле R=AВ√3/3, отсюда АВ=3R/√3=3*2a/√3=6a/√3. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник СМВ (угол М=90 градусов, МВ=АВ/2=3а√3, ВС=6a/√3). По теореме Пифагора МС=√(ВС^2-MB^2)= √(36а^2/3-9a^2/3)= √(12a^2-3a^2)= √9a^2=3a. Медиана разбивается точкой О на отрезки пропорциональные 2:1 от вершины. Таким образом отрезок СО=2а, Ом=а. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОК (угол О=90 градусов, МО=а, КО=а√3). По теореме Пифагора найдем МК, которая является апофемой. МК=√(МО^2+KO^2)= √(a^2+3a^2)= √4a^2=2a/ 

2) Тангенс угла КМО=КО/МО=а√3/а=√3, значит угол КМО=60 градусов (угол между боковой гранью и основанием) . 

3) Площадь боковой поверхности = ½ * периметр основания * апофему=1/2 * 3*6а/√3 * 2а=18а^2/√3=6√3а^2.