Пусть H - середина ABCD, MH - высота пирамиды MABCD,
MH - медиана, биссектриса и высоты треугольника DBM => H - середина DB=> HL - средняя линия треугольника DMB => 2LH=DH;
AH перпендикулярно BD ( как диагонали квадрата),
AH перпендикулярно МH ( т.к. МH - высота пирамиды)
DB пересекает MH в точке H => AH перпендикулярна плоскости DMB, значит угол HLA = 60° (по условию),
CA = √(CB^2+AB^2)=6√2 (по теореме Пифагора)
HA=1/2CA=3√2
LM=AH/tg60° = √6
DM=2LM=2√6
MH=√(DM^2-DH^2)=√6 (по теореме Пифагора)
ответ: √6
Попробую объяснить без чертежа.
У тебя есть пирамида с вершиной M и основанием ABCD.
Для начала проводим вершину (MO, где О- центр четырехугольника); эта высоты делит диагонали 4-ехугольника пополам (АО=ОС, BO=OD).
Перенесем теперь прямую DM в плоскости DMB ровно на половину диагонали ABCD параллельно ее предыдущему положению.
Теперь прямая DM стала прямой OL.
Прямые AL и OL пересекаются теперь в точке L.
Получился треугольник AOL , где угол AOL равен 90 градусов (доказывать долго просто поверь), а угол OAL равен 30 градусов, так как другой угол (угол OLA) равен 60 градусов по условию задачи.
Половина диагонали четырехугольника равна 3 корней из 2.
Другой катет (первый катет это половина диагонали четырехугольника) равен предыдущему катету умноженному на тангенс 60 градусов:
AO=OL*tg60град
Отсюда,
OL=3корня из 2/корень 3= корень из 6
MD=2OL, так как OL- средняя линия треугольника DBM, следовательно, MD= 2 корней из 6.
По теореме Пифагора находишь высоту пирамиды:
OM^2= DM^2-OD^2
OM^2=24-18=6
OM=корень из 6
ответ: корень из 6.
