Внутри квадрата дана точка, расстояния от которой до некоторых трех вершин квадрата равны 3, 4, 5. докажите, что эта точка не может лежать на диагонали квадрата.

Предположим противное: пусть эта точка лежит на диагонали квадрата. Раз все расстояния разные, то рассматривать случай с вершинами D, B, A или D, B, C нет смысла, поскольку KD=KB; Поэтому рассмотрим случай на рисунке. Пусть KO = x; Тогда x = (AK+KC)/2; Значит x может быть равен 4, 3,5, 4,5. KB - гипотенуза. Т.е. KB>KO=x; При x=4 это не выполняется. При x=4,5 также не выполняется. При x=3,5 используя теорему Пифагора приходим к тому, что OB - иррационально, хотя OB=OC=4-3,5=0,5