Нужна основанием четырёхугольной пирамиды является ромб с острым углом α и меньшей диагональю а. все двугранные углы при основании пирамиды равны β. найдите: 1) площадь полной поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

sana1998d

14.09.2020 21:14

В трапеции АВСД диагонали пересекаются в точке O АО=15 см, АС=27 см, ВС=8 см.Найти АД....

eshkeree1

01.12.2021 23:16

Вчетырехугольнике abcd ab паралелльна cd, bc паралелльна ad, ac=20 см., bd=10 см., ab=13 см.. диагонали четырехугольника пересекаются в точке о. найдите периметр треугольника...

Aleluyarew

01.12.2021 23:16

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 10 дм, его проекция на гипотенузу равна 8 дм. найдите второй катет и гипоенузу....

FantomASS1

01.12.2021 23:16

Диагональ параллелограмма делит его на треугольники, два угла одного из которых равны 13 градусов и 117 градусов. найдите все значения, которые может принимать величина тупого...

bogoslowskaia

01.12.2021 23:16

Найдите меньший угол между диагоналями прямоугольника если каждая из них делит угол прямоугольника в соотношении 4: 5 распешите,,подробно...

svetamoroz73

01.12.2021 23:16

Вариант 1 номер 6 вариант 2 номер 4,5,6 )...

ElenaFevralV

07.03.2022 20:51

Дано : ab=cd. ac=bd довести : кут сad= куту bda надо буду !...

ulianna26

02.05.2022 23:37

4. В прямоугольном треугольнике АСВ ( C = 90°) АВ = 20, ABC = 30°. С центром в точке А проведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы: а) окружность касалась прямой...

32519

02.02.2022 12:12

Два коли діаметрами 8см та 2 см дотикаються.Чому дорівнює відстань між центрами цих кіл?...

Jelly2005

07.03.2020 09:00

Радиус велосипедного колеса равен 21,5 см. Найдите диаметр колеса....

Ответ:

камила2010

09.10.2020 04:35

Пусть SABCD — четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб ABCD. Меньшая диагональ ромба BD = a и острый угол $\angle BAD = \alpha.$ $\ SO$ высота пирамиды, значит, $SO \bot (ABCD)$ , следовательно $SO \bot OK,$ так как $OK \in (ABCD),$ $\ OK$ — проекция на плоскость (ABCD), $\ OK \bot CD$ ⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП) $SK \bot CD$ , следовательно, $\angle SKO = \beta$ — линейный угол двугранного угла при ребре CD; так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть OK = r.

Найти: $1) \ S_{_{\Pi}} - ? \ 2) \ SO - ?$

Решение. Ромб ABCD состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников: $\triangle AOD = \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD.$

Рассмотрим $\triangle AOD (\angle AOD = 90^{\circ}):$

$OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}$

$\angle OAD = \dfrac{\angle BAD}{2} = \dfrac{\alpha}{2}$

$\text{sin} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AD} \Rightarrow AD = \dfrac{OD}{\text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}$

$\text{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AO} \Rightarrow AO = \dfrac{OD}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}$

Значит, диагональ $AC = 2AO = \dfrac{2a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}$

Рассмотрим $\triangle COD (\angle COD = 90^{\circ}):$

$r = OK = \dfrac{CO \ \cdotp OD}{CD} = \dfrac{\dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} \ \cdotp \dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}{4a \ \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2}$

Высота ромба $BM = 2OK = \dfrac{2a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} }{2} = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}$

Площадь основания пирамиды $S_{_{\text{O}}} = BO \ \cdotp CD = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} \ \cdotp \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2}$

Рассмотрим $\triangle SOK (\angle SOK = 90^{\circ}):$

$\text{tg} \beta = \dfrac{SO}{OK} \Rightarrow SO = OK \text{tg} \beta = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}$

$\text{cos}\beta = \dfrac{OK}{SK} \Rightarrow SK = \dfrac{OK}{\text{cos}\beta} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2 \text{cos}\beta}$

Определим площадь треугольника SDC:

$S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{SK \ \cdotp CD}{2} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \ \cdotp a}{2 \ \cdotp 2 \text{cos}\beta \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{8\text{cos}\beta \ \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta}$

Из-за того, что у ромба все стороны равны и все двугранные углы при основании равны, то все боковые грани пирамиды будут тоже равны. Следовательно, площадь боковой поверхности $S_{_{\text{B}}} = 4S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{4a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta}$

Теперь, зная площадь основания и боковой поверхности пирамиды можно найти площадь полной поверхности:

$S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{O}}} + S_{_{\text{B}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2} + \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2} (\text{cos} \beta + 1)}{2\text{cos} \beta}$

ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна $\dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2} (\text{cos} \beta + 1)}{2\text{cos} \beta};$ высота пирамиды равна $\dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}.$

Нужна основанием четырёхугольной пирамиды является ромб с острым углом α и меньшей диагональю а. все

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку