Внутри правильного треугольника авс взята произвольная точка м. доказать, что на сторонах ав, вс и са можно выбрать соответственно точки с1, а1 и в1 так, что в1с1= ам, с1а1 = вм, а1в1 = см. найти ва1, если ав1 = а, ас1= в, а > в .

Пусть MA₁║AB, MB₁║BC, MC₁║AC.

Рассмотрим фигуру AB₁MC₁. Т. к. MC₁║AC ⇒ MC₁║AB₁, AC₁∦MB₁ ⇒ AB₁MC₁ - трапеция. Т. к. ∠A = ∠C, ∠C = ∠AB₁M как соответственные ⇒ ∠A = ∠AB₁M ⇒ AC₁ = MB₁, т. е. трапеция равнобедренная ⇒ B₁C₁ = AM как диагонали равнобедренной трапеции.

Аналогично рассуждая, C₁A₁ = BM, A₁B₁ = CM, что и требовалось доказать.

Пусть C₁H₁⊥AB₁, MH₂⊥AB₁. Тогда MC₁H₁H₂ - прямоугольник ⇒ H₁H₂ = C₁M. Т. к. A₁BC₁M - равнобедренная трапеция, A₁B = C₁M ⇒ A₁B = H₁H₂.

В прямоугольном треугольнике AH₁C₁ AH₁ = AC₁ * cos A = b * cos 60° = 0.5b. Аналогично B₁H₂ = 0.5b. Тогда H₁H₂ = AB₁ - AH₁ - H₂B₁ = a - 0.5b - 0.5b = a - b ⇒ A₁B = a - b.

ответ: a - b