Докажите что треугольник авс равнобедренный и найдите его площадь если его вершины имеют коорденаты 1 ) a ( 0 , 1 ) b ( 1 ,4 ) c ( 5 ,2 ) 2 ) a ( - 4 , 1 ) b ( -2 , 4 ) c ( 0 , 1 )

Все решения так или иначе сведутся к "формуле медианы", которая вам так не нравится. Можно её попросту вывести.

Пусть AC = 11, BC = 23, AM = 10, M - середина AB.
Найдем AB.

Достроим треугольник до параллелограмма. Докажем, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов диагоналей.

Рассмотрим треугольник ACC1. Напишем в нем выражение по теореме косинусов:
CC'^2 = AC'^2 + AC^2 - 2AC*AC'*cos(CAC')
2AC * AC' * cos(CAC') = AC^2 + AC'^2 - CC'^2 = 121 + 529 - 400 = 250

Для треугольника ABC верны соотношения: CB = AC' = 23, ACB = 180° - CAC', тогда
2AC * CB * cos(ACB) = -2AC * AC' * cos(CAC') = -250
Теорема косинусов:
AB^2 = AC^2 + AB^2 - 2AC * CB * cos(ACB) = 529 + 121 + 250 = 900
AB = 30

15. треугольник АВС, МН-средняя линия , площадь АМН=21, треугольник АНС , НМ-медиана (АМ=МС), медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника, площадь АМН=площадь МНС=21, площадь АНС=площадьАМН+площадьМНС=21+21=42, треугольник АВС, АН-медиана (ВН=НС), тогда плошщадь АВН=площадьАНС=42, площадьАВС=площадь АВН+площадьАНС=42+42=84

16. площади подобных многоугольников относятся как периметры в квадрате, 16/49=периметр1 в квадрате/1225, периметр1 в квадрате=16*1225/49=400, периметр1=20

17. треугольник АРД подобен треугольнику ВРС по двум равным углам, уголР-общий, уголА=уголРВС как соответственные, площади подобных треугольников относятся как отношение квадратов подобных сторон, площадь ВРС/площадьАРД=ВС в квадрат/АД в квадрате, площадьВРС/80=9/16, площадьВРС=80*9/16=45, площадьАВСД=площадьАРД-площадьВРС=80-45=35

18, треугольник АВС, АВ=Вс=20, АС=32, проводим высоту ВН=медиане, АН=НС=1/2АС=32/2=16, треугольник АВН прямоугольній, ВН=корень(Ав в квадрате-АН в квадрате)=корень(400-256)=12, tgA=ВН/АН=12/16=3/4=0,75

19. треугольник АВС, уголС=90, ВС=2, АС=4,, АВ=корень(АС в квадрате+ВС в квадрате)=корень(16+4)=2*корень5, cosB=ВС/АВ=2/(2*корень5)=корень5/5