Дан равнобедренный треугольник авс с основанием ас. вписанная в него окружность с центром о касается боковой стороны вс в точке р и пересекает биссектрису угла в в точке q. докажите, что отрезки qp и ос параллельны.

ВН - биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит ВН - высота.

ОР⊥ВС как радиус, проведенный в точку касания.

ΔOPQ равнобедренный (OP = OQ как радиусы), значит

∠OPQ =  ∠OQP = α

∠POH = ∠OPQ +  ∠OQP = 2α как внешний угол треугольника OPQ.

ΔСОН = ΔСОР по катету и гипотенузе (∠СНО = ∠СРО = 90°, ОН = ОР как радиусы, ОС - общая), значит

∠СОР = ∠СОН = 1/2 ∠РОН = α.

Итак, ∠OPQ = ∠COP = α, а эти углы - внутренние накрест лежащие при пересечении прямых QP и ОС секущей ОР, значит

QP ║ OC.