Докажите что любой правильный многоугольник является квадратом

Объяснение:

20.1 ΔАВС-прямоугольный, АВ-катет, ВС-катет, АС-гипотенуза

ВС/АС=sin∠A  b/y=sinx   b=y·sinx

AB/AC=cos∠A  a/y=cosx  a=y·cosx

20.2  AB/AC=sin∠C   a/y=sinx   a=y·sinx

BC/AC=cos∠C  b/y=cosx  b=y·cosx

21.1 BC/AC=cos∠C   y/b=cosx  b=y/cosx

AB/BC=tg∠C  a/y=tgx  a=y·tgx

21.2 AB/AC=cos∠A  y/a=cosx  a=y/cosx

CB/AB=tg∠A  b/y=tgx   b=y·tgx

22.1 ΔBNC-прямоугольный NC/BC=sin∠NBC  z/6=sin30°  z=6·sin30°=6·1/2=3 см

∠B=90°  ∠NBC=30° ⇒ ∠ABN=90°-30°=60°

ΔANB-прямоугольный ∠A=90°-∠ABN=90°-60°=30°

из ΔABC BC/AC=sin∠A  6/AC=sin30°  AC=6÷1/2=12 см

AN=AC-NC  y=12-3=9 см

по теореме Пифагора АВ=√АС²-ВС²  х=√144-36=√108=6√3 см

22.2 ΔBNC-прямоугольный ∠С=60° ⇒ ∠СBN=30°

CN/CB=sin∠CBN  CN/9=sin30°  z=9·1/2=4,5 см

∠NBC=90°-∠CBN=90°-30°=60° т.к. ΔBNA-прямоугольный ∠А=90°-60°=30°

CB/AC=sin∠A  9/AC=sin30°  AC=9÷1/2=18 см

NA=AC-CN  y=18-4,5=13,5 см

по теореме Пифагора АВ=√АС²-ВС²  х=√18²-9²=√243=9√3 см

Пусть   ABCD   вписанный  четырехугольник  ,AB=a,BC=b , CD =c ,DA=d.
Проведем диагональ AC.
 S= S(ABCD) = S(ABC) +S(ADC) =(1/2)absinB + (1/2)cdsinD=
(1/2)absinB + (1/2)cdsin(180° -∠B)=(1/2)absinB + (1/2)cdsin∠B=(1/2)(ab + cd)sin∠B.
 * * * ∠D +∠B =180° , sin∠D =sin(180° -∠B) =sin∠B ; cos∠D = - cos∠B   * * *  
Из треугольника ABC  по теореме косинусов :
AC² =a² +b² -2abcos∠B .   (1)
Аналогично  из треугольника ADC : 
AC²= c²+d² -2cdcos∠D ;
AC²=c²+d² +2cdcos∠B .     (2)

Из уравнений (1) и (2) получаем  :
a² +b² -2abcos∠B = c²+d² +2cdcos∠B ⇒ cos∠B = (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd) .
sin²∠B =1- cos²∠B =1- ((a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))² =
(1- (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))(1+ (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))=
((c+d)² -(a-b)²)/2(ab+cd))((a+b)² -(c-d)²)/2(ab+cd)) =
(c+d +b-a)(c+d +a-b)(a+b+d -c) (a+b+c -d)/ (2(ab+cd))² = || p = (a+b+c+d)/2|| =
(2p -2a)(2p -2b)(2p-2c)(2p-2d) / (2(ab+cd))² =4(p -a)(p -b)(p-c)(p-d) / (ab+cd)² .
sin∠B =2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) .
следовательно : 
S =(1/2)(ab + cd)sin∠B =(1/2)(ab + cd)*2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) =
√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)).

2. Если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности ,то :
b+d= a+c (сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны).
p-c = (a+b+c+d)/2 - c =a+c -c =a ;  * * * замена b+d = a+c  * * * 
p-d = (a+b+c+d)/2 - d =b+d -d=b ;  * * * замена  a+c=b+d   * * *
p-a = (a+b+c+d)/2 - a =a+c -a =c ;  * * * замена b+d = a+c  * * *
p-b = (a+b+c+d)/2 - b =b+d -b=d .  * * * замена  a+c=b+d   * * *

S =√(abcd) .