Рассмотрим неравенство треугольника для каждой из трех его сторон:
a > |b - c|
b > |a - c|
c > |a - b|
Возведем в квадрат каждое из трех неравенств:
Сложим почленно эти неравенства:
Если x,y,z отрезки касательных на которые делит вписанная окружность стороны, то a=x+y, b=x+z, c=y+z
(x+y)^2+(x+z)^2+(y+z)^2<2((x+y)(x+z)+(x+z)(y+z)+(x+y)(y+z)) где x,y,z>0
Открывая скобки и преобразовывая
xy+yz+zx>0
что верно.
