Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по двум сторонам:

formula ploschadi treugolnika po dvum storonam

\[S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \]

ploschad treugolnika po dvum storonam

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \angle A\]

Доказательство:

ploschad treugolnika po dvum storonam i sinusu ugla

Проведем в треугольнике ABC высоту BD.

Площадь треугольника

равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD.\]

Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).