32 cм²
Объяснение:
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:
Sбок= 1/2*(Р1+Р2)*L,
где Р1 и Р2 - периметры оснований пирамиды, L - апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды)
Найдём стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды.
Диагональ квадрата: d = a√2, где а - сторона квадрата.
⇒ а = d/√2
АД = 6/√2 = 3√2, А1Д1= 2/√2 = √2.
Р1=4*АД= 4 * 3√2 = 12√2 см - периметр верхнего основания.
Р2=4*А1Д1=4√2 см - периметр нижнего основания пирамиды.
Найдем апофему L
Основания усеченной пирамиды - квадраты. Проведем из центров оснований перпендикуляры ОМ⊥ДС и О1М1⊥Д1С1. ОМ и О1М1 - радиусы вписанных окружностей в основания.
Т.к. r=a /2 (половина стороны основания), то
О1М1= А1Д1/2 = 
ОМ = АД/2 = 
Опустим перпендикуляр М1К из точки М1 верхнего основания на нижнее основание. Получим прямоугольный ΔМ1КМ.
Т.к. М1К⊥КМ, КМ⊥ДС, то М1М⊥ДС ( по теореме о трёх перпендикулярах) ⇒∠М1МК = 60° (это данный нам линейный угол двугранного угла при ребре большего основания).
КМ = разнице расстояний от центров оснований до боковых сторон, то есть КМ = ОМ-О1М1= - = 
см.
Тогда гипотенуза (апофема) L = ММ1 = КМ / cos 60° = : 
= 2 cм
Sбок = * ( 12 + 4 ) * 2 = (12+4) = 2*16=32 cм²
Найти: OM
1. проведём прямую от точки М до точки С. эта прямая будет делить равнобедренный треугольник ABC на два рввных прямоугольных треугольника - ACM и BCM.
2. рассмотрим прямоугольный треугольник АСМ:
cos угла А = отношению катета АМ к гипотенузе АС
cos угла А=0,6 по условию и
АС=10 по условию,
тогда получаем отношение
6/10=АМ/10
отсуда следует, что АМ=6=МВ т.к. прямоугольные треугольники АСМ и ВСМ равны
ВА=АМ+МВ=12 - основание треугольника АВС
3. OM=радиусу окружности вписанной в равнобедренный треугольник АВС
радиус вписанной окружности в произвольном треугольнике можно найти по формуле:
где p - полупериметр, равный ½•(a+b+c)
в нашем случае:
½•(AC+CB+BA), где АС=СВ=10, ВА= 12
p=½•(10+10+12)=½•32=16
радиус вписанной окружности равен:
OM=3 см
ответ: 3 см
