1. две стороны треугольника равны 10 см и 14 см, а высоты, проведенные к этим сторонам, пересекаются под углом 120°. найдите площадь треугольника. 2. два угла треугольника равны 45° и 120°, а сумма противолежащих им сторон равна 6(√6 + 2) см. найдите эти стороны. 3. в треугольнике авс проведена медиана вм, ∠abc = 105°, ас = 6√2 см. радиус окружности, описанной около треугольника мвс, равен √6 см. найдите радиус окружности, описанной около треугольника авм. 4. периметр треугольника равен 15 см. найдите угол, противолежащий стороне, равной 7 см, если биссектриса этого угла делит сторону в отношении 3: 5. 5. найдите углы параллелограмма, если квадрат его диагонали равен неполному квадрату суммы его сторон. 6. решите треугольник авс, если вс = 16√3 см, ас = 14 см, ∠a = 30°.

Плоскость АВ1С пересекает куб по линиям АВ1 и В1С. Расстояние до этой плоскости от точки С1 (перпендикуляр С1Н к этой плоскости) равно расстоянию до этой плоскости от точки О (перпендикуляр ОР к этой плоскости), так как прямая, на которой лежат точки О и С1 параллельна плоскости АВ1С, поскольку эта прямая параллельна линии АС пересечения куба плоскостью АВ1С. 
Найдем ОР.
По Пифагору отрезок В1D1 = √2 - это диагональ квадрата А1В1С1В1.
Тогда ОВ1= √2/2, так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам.
В прямоугольном треугольнике ВВ1О Отрезок ОР является высотой, опущенной из прямого угла О на гипотенузу В1Q и по свойству этой высоты OP=(ОВ1*ОQ)/В1Q.  По Пифагору из треугольника ВВ1Q: В1Q= √(BQ²+ВВ1²)=√(3/2) = √3/√2.
Тогда ОР=(√2/2)*1/(√3/√2) =  (√2/2)*1*(√2/√3) = 2/(2√3) = 1/√3 = √3/3.
ответ: расстояние от С1 до плоскости АВ1С равно √3/3.

1. 15 см.

2.  31,75 см².

3.  36 м².

4.  21 кв. ед.

5.  113,4 см².

6.  6 см.

7.  50 см².

8.  27 см².

9.  7 см.

Объяснение:

1.  Пусть меньший катет равен 2х. Тогда больший равен 5х.

S=1/2(ah)=1/2(2x*5x)=(1/2)10x²=5x²;

5x²=45;

x²=9;

х=±3;  (-3 - не соответствует условию) .

х=3 см.

Больший катет равен 5х=5*3=15 см.

***

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

S=1/2 ah;

S=12.7*5/2= 31.75см².

***

3.   ABCD - прямоугольная трапеция. ∠А=∠В=90°. ВС=7 м,  AD=11 м.

∠D=45°.  Высота СЕ отсекает равносторонний треугольник СЕD, у которого ∠D=45°,  CE⊥AD.  

ED=CE=AD-BC=11-7=4 м.

S=h(a+b)/2=4(7+11)/2=2*18=36 м².

***

4.   Есть несколько вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Предложу свой.

Дополним параллелограмм до прямоугольника и вычтем площади дополнительных треугольников (см. приложение).

S=S(прямоугольника) - 2S(треугольника);

S=5*7-2(2*7)/2=35-14= 21 кв. ед.

***

5.  S=ah, где а=16,2 см. Найдем h.

BE/AB=Sin 30°;

BE=AB*Sin30° =14*(1/2)=7 см.

S=16.2*7=113.4 см²

 ***

6.  Площадь ромба по его диагоналям:

S=D*d/2;

d=2S/D=2*24/8=48/8=6 см.  

***

7. Пусть сторона квадрата равна а см.

Найдем а:  5²= а²+а²;  2а²=5²;  а=√(5²)/2=5√2 см;

S=a²=(5√2)²=50 см².

***

8. Пусть одна сторона равна х тогда вторая равна 3х.

Р(ABCD)=2(AB+BC);

2(x+3x)=24;

4x=12;

x=3 см - меньшая сторона (AB).

Большая сторона равна 3х=3*3=9 см  (BC).

Площадь равна S=AB*BC=3*9=27 см².  

***

9.  S(ABC)=(1/2)AB*CE=1/2*14*10=70 см².

Ту же площадь можно найти по формуле:

S=1/2(BC*AF), где AF - высота, проведенная к стороне ВС

1/2(20*AF)=70;

20*AF=140;

AF=140/20=7 см.