Плоскости α и β параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках A₁ и B₁, а другая — в точках A₂ и B₂ соответственно . Найдите отрезок A₁A₂, если он на 1 см меньше отрезка B₁B₂, MA₂ = 4 см, A₂B₂ = 10 см.
Объяснение:
1) Две пересекающиеся прямые А₁В₁ и А₂В₂ определяют плоскость
(А₁А₂ В₂) единственным образом ( аксиома). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым А₁А₂ и В₁В₂( свойство).
2) ΔМА₁А₂~ΔMB₁B₂ по 2-м углам : ∠А₁МА₂=∠B₁МB₂ как вертикальные , ∠А₁А₂М =∠В₁В₂М как накрест лежащие при А₁А₂ || В₁В₂, А₂В₂-секущая. Поэтому сходственные стороны пропорциональны
А₁А₂ : В₁В₂ = АМА₂ : МВ₂
А₁А₂ : (А₁А₂+1) = 4: ( 10-4)
4(А₁А₂+1)=А₁А₂*6 ⇒ А₁А₂= 2 cм
1)
Δ АСВ – прямоугольный.
По теореме Пифагора
АВ2=AC2+BC2=225+400=625
AB=25
Проводим высоту СН прямоугольного Δ АСВ
СH– проекция MH
CН⊥АВ, по теореме о трех перпендикуярах MH ⊥АВ
Расстояние от вершины M до АВ и есть МН,
Из формула площади прямоугольного треугольника АСВ
S=1/2·АС·ВС
и
S=(1/2)·АВ·СН
СН=АС·ВС/АВ=20·15/25=12
Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный
МН=СН/сos 60 °=12/0,5=24
О т в е т. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ равно 24 см.
2)
Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный
МC2=MH2–CH2=242–122=432
MC=12√3
S=S Δ MBC+S Δ MAB+S Δ MAD+S Δ MDC+S(ABCD)
S Δ MBC=(1/2)BC·CD=(1/2)·20·12√3=
S Δ MAB=(1/2)AB·CH=(1/2)·25·12=150
CK⊥АD
CK=AB·CH/AD=25·12/20=15
S Δ MAD= (1/2)AD·CK=(1/2)20·15=150
S Δ MDC=(1/2)CD·MC=(1/2)·25·12√3=
S(ABCD)=2S Δ ABC=2·(1/2)BC·AC=20·15=300
