Пусть дана трапеция АВСD, АВ = СD, диагональ ВD = 15 см, средняя линия - 12 см. Найдем Sтр.
1. Проведем высоты ВН и СК. Тогда ВНКС - прямоугольник, значит, НК = ВС и ВН = СК как противоположные стороны прямоугольника.
2. ΔАНВ = ΔDКС, т. к. АВ = СD (по условию), ВН = СК, т.е. прямоугольные треугольники АНВ и DKC равны по гипотенузе и катету. Следовательно, АН = КD.
3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т.е. (AD + BC)/2 = 12 см, откуда AD + BC = 24 cм. Но AD = АН + НК + КD = 2КD + BC, т.е. AD + BC = 2КD + 2ВС, откуда КD + ВС = НК + КD = НD = 24 : 2 = 12 (см).
4. Из прямоугольного ΔВНD по теореме Пифагора найдем высоту трапеции ВН: ВН² = BD² - HD² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81 = 9², откуда ВН = 9 см.
5. Найдем теперь площадь трапеции как произведение средней линии и высоты, т.е. Sтр = (АD + ВС)/2 · ВН = 12 · 9 = 108 (см²).
ответ: 108 см².
