Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 10 см, а висота циліндра - 8 см. знайти радіус основи циліндра

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

Даны точки А(4;-4) и В(8;-12) как концы диаметра окружности.

Находим её центр О.

Координаты точки О = (А(4;-4) + В(8;-12))/2 = (6; -8).

Радиус R = √((6-4)² + (-8-(-4))²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5.

Определяем уравнение этой окружности.

(x - 6)² + (y + 8)² = 20.

Теперь можно определить координату по оси Оу точки К, зная, что х = 10. Подставим х = 10 в уравнение окружности.

(10 - 6)² + (y + 8)² = 20,

16 + (y + 8)² = 20,

(y + 8)² = 4, извлечём корень из обеих частей.

у + 8 = +-2. Получаем 2 значения: у1 = -8 + 2 = -6, у2 = - 8 - 2 = -10.

Заданных прямых тоже две: ОД и ОЕ.

Векторы: ОД = (4; 2), ОЕ = (4; -2).

Уравнение ОД: (х - 6(/4 = (у + 8)/2 или в общем виде х - 2у - 22 = 0.

Уравнение ОЕ: (х - 6(/4 = (у + 8)/(-2) или в общем виде х + 2у + 10 = 0.