Діагоналі паралелограма дорівнююит 12 см і 10 см ,а кут між ними становить 60° .знайдіть більшу сторону паралелограма.

                                                               Тема:  "окружающая среда"

* * * для удобства плоскость   (ABCD)  обозначаем через Ψ * * *

EABCD - пирамида  , основание которой  трапеция ABCD  ;  

AD || BC  ;  AB =28  ; ∠A =∠B =90° ; ∠D =30° ; | [AB] < [CD] ; [BC] < [AD]

(ABE) ⊥ Ψ    и   (CBE) ⊥ Ψ ;   ∠ ( (CDE) , Ψ ) =∠ ( (ADE) , Ψ )  = 60°

--------------------------

1.  Трапеция  ABCD         ПРЯМОУГОЛЬНАЯ

- - -

(ABE) ⊥ Ψ    и   (CBE) ⊥ Ψ    ⇒ EB ⊥ Ψ  

DA⊥ BA ⇒DA ⊥ EA  ;      ∠EAB =60° линейный угол  двугранного угла

EADC ;  Построим линейный угол двугранного угла EDCA

Проведем BF ⊥ CD  и основание F этого перпендикуляра соединим с вершиной  ПИРАМИДЫ E.   Получаем  ∠EFB = 60°  линейный угол двугранного угла EDCA .

* * * !   ΔABE = ΔFBE =Δ BFC = ΔCHD  учитывая   ∠D =∠BCF =30° * * *

Вычисление  площадей  боковых граней и т.д. cм приложение

Из вершины С равнобедренного треугольника АВС, у которого ∠АСВ = 120°, к плоскости α, которая содержит сторону АВ, проведён перпендикуляр СD = 9 см. Проекция медианы СМ треугольника на плоскость α равна 12 см.
1) Вычислите проекцию боковой стороны на плоскость α.
2) Доказать, что прямая АВ перпендикулярна плоскости СМD.

CD⊥α, значит MD - проекция медианы СМ на плоскость α,
AD - проекция боковой сторона на плоскость α.
MD = 12 см, AD - искомая.

ΔCMD: ∠CDM = 90°,  по теореме Пифагора
           СМ = √(CD² + MD²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см
СМ - медиана, а значит и высота равнобедренного треугольника АВС,
∠АСВ = 120°, значит ∠САВ = ∠СВА = (180° - 120°)/2 = 30°.
В прямоугольном треугольнике САМ СА = 2СМ = 30 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.
1)
ΔACD: ∠ADC = 90°, по теореме Пифагора
           AD = √(AC² - CD²) = √(900 - 81) = √819 = 3√91 см

2) СМ⊥АВ так как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и высотой,
MD - проекция СМ на плоскость α, значит и MD⊥AB по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
АВ⊥СМ, АВ⊥MD, ⇒ АВ⊥(CMD)