Точки до площини проведено дві похилі,одна з них довжиною 10 см, утворює кут з площиною 30 градусів. знайти довжину другої похилої, якщо вона утворює з площиною кут 45 градусів
M- точка пересечения диагоналей. Прямоугольные треугольники ADM и ADE подобны, то есть AM/AB = AB/AE; или AM*AE = AB^2; Ясно, что AM = AC/2; Для AE возможны два варианта 1) точка E лежит ВНУТРИ ромба. В этом случае угол A ромба острый. AE = AC - CE; Получается уравнение (AC/2)*(AC - 12) = 8^2*5; AC^2 - 12*AC - 640 = 0 ; или AC = 32; отсюда AM = 16; BM^2 = (8^2*5 - 16^2) = 8^2; BD = 2*BM = 16; это меньшая диагональ. 2) точка E лежит ВНЕ ромба. В этом случае угол A ромба тупой. AE = AC + CE; Получается уравнение (AC/2)*(AC + 12) = 8^2*5; AC^2 + 12*AC - 640 = 0; или AC = 20; это меньшая диагональ. В задаче есть 2 варианта решения - в зависимости от того, где лежит точка E (или - какой угол A - острый или тупой).
ΔОМР подобен ΔКМТ по двум углам (∠МОР = ∠МКТ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ОР и ТК секущей ОК, углы при вершине М равны как вертикальные). S₁ : S₂ = (OM : MK)² 72 : 50 = (OM : MK)² 36 : 25 = (OM : MK)² OM : MK = 6 : 5
На рисунке внизу доказывается, что если треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся, как стороны, к которым проведена высота. ΔОМТ и ΔТМК имеют общую высоту, значит S₃ : S₂ = OM : MK = 6 : 5 S₃ = 6 · S₂ / 5 = 6 · 50 / 5 = 60
В любой трапеции площади треугольников, образованных боковыми сторонами и диагоналями равны (зеленые треугольники): S₄ = S₃ = 60
