Покажите, что параллелограмм, построенный на векторах а=(1,2,3) и в=(3,2,1) , является ромбом.

Так як паралелепіпед прямий, то ∆ ВDВ1 прямокутний з гіпотенузою В1D. За теоремою Піфагора знайдемо висоту В1В паралелепіпеда: В1В2 = В1D2 – BD2 = 72 – 13 = 49 – 13 = 36. В1В = 6 см. SABCD = AB ∙ AD ∙ sin ∠BAD = 2√2 ∙ 5 ∙ √2 2 = 10 (см2).

Знаходимо об’єм паралелепіпеда: V = SABCD ∙ BB1 = 10 ∙ 6 = 60 (см3).

Нехай АВ = 2√2 см, АD = 5 см, ∠BAD = 45°.

Меншою діагоналлю паралелепіпеда буде та, яка проектується на меншу діагональ основи, тобто та, що лежить проти кута 45°. Отже менша діагональ основи ВD, а менша діагональ паралелепіпеда В1D = 7 см.

За теоремою косинусів:

ВD. BD2 = AB2 + AD2 – 2 ∙ AB ∙ AD ∙ cos∠BAD = = (2√2)2 + 52 – 2 ∙ 2√2 ∙ 5 ∙ cos45° = = 8 + 25 - 20√2 ∙ √2 2 = 33 – 20 = 13.

Угол А данного треугольника равен 180-60 = 120 градусов.
Опустим из вершины В перпендикуляр на продолжение стороны АС в точку Д.
Получим прямоугольный треугольник ВДА, угол ДАВ равен 180-120=60°, а угол ДВА = 30°.
Отрезок ДА равен половине гипотенузы АВ: ДА = 14 / 2 = 7.
Отрезок ВД = 14*cos30° = 14*(√3/2) = 7√3.
Обозначим основание медианы на стороне ВС точкой Е. Из неё опустим перпендикуляр на сторону АС в точку М.
Отрезок ЕМ равен половине ВД: ЕМ = 7√3 / 2 = 3,5√3.
Находим длину отрезка АМ: АМ = ((30 + 7) / 2) -7 =18,5 - 7 =  11,5
Теперь находим медиану:
АЕ = √(АМ²+ЕМ²) = √(11,5² + (3,5√3)²) = √( 132.25 + 36.75) =
= √169 = 13.