1. начертите 2 неколлинеарных вектора a и b. постройте вектора равные a) a+3b, б) (1/2)a-b.

2. в равнобедренном трапеции высота делит большее основание на отрезки 7 и 13 см. найдите длину средней линии трапеции.

3. в параллелограмме abcd на стороне ab отмечена точка k, такая, что ak : kb = 2: 1, о - точка пересечения диагоналей. выразите вектора oc и ck через векторы a=ab, b=ad.

пусть ad> bc , тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований ad , положим что y,w середины сторон ab и cd соответственно , тогда yw средняя линия трапеции , значит ad+bc=2yw из условия мы знаем что yw равна либо 15 либо 7 , положим что ab и cd пересекаются в точке e , тогда aed=180-(75+15)=90 , положим также что z,x это середины сторон основании bc,ad соотвественно , пусть n точка пересечения yw и zx , тогда по замечательному свойству трапеции точки e,z,x лежат на одной прямой , учитывая что угол aed прямой , получаем что ax=ex=ad/2 , ez=bz=bc/2 , но так как ex=ez+zx откуда окончательно получаем две системы  

{ad-bc=2*7  

{ad+bc=2*15  

или  

{ad-bc=2*15  

{ad+bc=2*7  

подходит решение первой системы , так как они положительны , складывая получаем ad=22 , bc=8 , значит ответ bc=8.

Центр окружности, описанной вокруг правильного треугольника, является и центром окружности, вписанной в правильный шестиугольник. 
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник. 
Правильный шестиугольник состоит из 6 равных правильных треугольников, высотой которых является апофема шестиугольника, т.е. радиус вписанной окружности. 
 Площадь каждого из этих треугольников  можно найти по формуле площади правильного треугольника, выраженной  через высоту. 
S₁=h²/√3,
а площадь всего шестиугольника в 6 раз больше. 
Решение: 
Сторона а данного треугольника равна
 Р:3
 а=(6√3):3=2√3 
R=a/√3=2 
Высота h (апофема шестиугольника) каждого треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник, равна ОН - радиусу описанной вокруг правильного треугольника окружности.
Площадь правильного  треугольника, выраженная через его высоту
 S= h²/√3 
S₁=4/√3 
S₈=6*4/√3=24/√3  
24/√3=(24*√3):(√3*√3)=8√3 (единиц площади)