написать алгоритм Дано a, x и натуральное N. Вычислить
(((…((x+a)2+a)2+…a)2+a) (N скобок).

{
Если что, часть программы не нужна для построения цепочки. Она просто иллюстрирует, что полученный результат верен.
}

var
 sq : array[0..999] of array[0..9] of boolean;
 co : array[0..999] of integer;
 ar : array[1..10003] of 0..9;
  i,j: integer;
 x: integer;
 t : boolean;
 begin
 for i := 0 to 999 do
   begin
   for j := 0 to 9 do
   sq[i][j] := false;
   co[i] := 0;
   end;
 for i := 1 to 3 do
   ar[i] := 0;
 i := 3;
 t := true;
 {write('000');}
 while t do
   begin
   i := i + 1;
   x := ar[i-3]*100 + ar[i-2]*10 + ar[i-1];
   if co[x] >= 10 then t := false
     else
     begin
     j := 1;
     while sq[x][j] do 
       j := (j + 1) mod 10;
     ar[i] := j;
     sq[x][j] := true;
     co[x] := co[x] + 1;
     {write(j)}
     end;
   end;
 {writeln;}
 writeln('Length: ',i - 1);

 {просто чтобы убедиться}
 for i := 0 to 999 do
   for j := 0 to 9 do
   sq[i][j] := false;

  t := true;
 j := 0;
 i := 1;
 while (i <= 10000) and t do
   begin
   x := ar[i] * 100 + ar[i+1] * 10 + ar[i+2];
   if sq[x][ar[i+3]] then t := false
     else
     begin
     sq[x][ar[i+3]] := true;
     j := j + 1;
     end;
   i := i + 1
   end;
 if t and (j = 10000) then
   write('Confirmed')
end.

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "Russian");

short int year[] = { 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31 };

int month = 0, day = 0, daysUntilNewYear = 0;

while (month == 0)

{

 cout << "Введите месяц: ";

 cin >> month;

 if (month < 1 || month > 12)

 {

  month = 0;

  cout << "В году лишь 12 месяцев, повторите ввод" << endl;

 }

}

while (day == 0)

{

 cout << "Введите день: ";

 cin >> day;

 if (day > year[month - 1] || day < 1)

 {

  day = 0;

  cout << "В выбранном месяце " << year[month - 1] << " дней, повторите ввод" << endl;

 }

}

for (int i = month - 1; i < 12; i++)

{

 daysUntilNewYear += year[i];

}

daysUntilNewYear -= day - 1;

cout << "До Нового Года осталось " << daysUntilNewYear << " дней"<< endl;

system("pause");

return 0;

}

Если через case делать, то будет больше кода и он будет менее понятен - смысла в этом нет, поэтому сделал через while.