Задача в Excel. Фото. Как решить

Объяснение:

ЯКласс лого

2. Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

Теория:

Для кодирования информации в компьютере вместо привычной десятичной системы счисления используется двоичная система счисления.

Двоичной системой счисления люди начали пользоваться очень давно. Древние племена Австралии и островов Полинезии использовали эту систему в быту. Так, полинезийцы передавали необходимую информацию, выполняя два вида ударов по барабану: звонкий и глухой. Это было примитивное представление двоичной системы счисления.

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2 .

Для записи чисел в ней использовали только две цифры: 0 и 1 .

Для обозначения системы счисления, в которой представляется число, используют нижний индекс, указывающий основание системы. Например, 110112 — число в двоичной системе счисления.

Цифры в двоичном числе являются коэффициентами его представления в виде суммы степеней с основанием 2 , например:

1012=1⋅22+0⋅21+1⋅20 .

В десятичной системе счисления это число будет выглядеть так:

1012=4+0+1=5 .

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём десятичное число 13 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

13.png

Получили 1310=11012 .

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий записи рассмотренного выше алгоритма:

224

112

56

28

14

7

3

1

0

0

0

0

0

1

1

1

22410=111000002 .

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8 .

Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 .

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в восьмеричной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём восьмеричное число 154368 в десятичную систему счисления.

154368=1⋅84+5⋅83+4⋅82+3⋅81+6⋅80=694210

Пример:

Переведём десятичное число 94 в восьмеричную систему счисления.

94.png

9410=1368

Шестнадцатеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 16 .

Для записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются цифры: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 и латинские буквы A, B, C, D, E, F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010 , 1110 , 1210 , 1310 , 1410 , 1510 .

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Для перевода целого десятичного числа в шестнадцатеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 16 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём шестнадцатеричное число 2 A7 в десятичное. В соответствии с вышеуказанными правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16 :

2A716=2⋅162+10⋅161+7⋅160=512+160+7=679 .

Пример:

Переведём десятичное число 158 в шестнадцатеричную систему счисления.

Безымянный111.png

15810=9E16 .

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную необходима использовать развернутую формулу числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами.

Для перевода целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание системы счисления, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание системы счисление, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной системе счисления от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b. Будем считать, что прямой a соответствует общее уравнение прямой вида формула, а прямой b – вида формула. Пусть формула – некоторая точка плоскости, и требуется выяснить, является ли точка М0 точкой пересечения заданных прямых.

Решим поставленную задачу.

Если M0 является точкой пересечения прямых a и b, то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b, то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М0 в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М0 удовлетворяют обоим уравнениям формула и формула, то формула – точка пересечения прямых a и b, в противном случае М0 не является точкой пересечения прямых.

Пример.

Является ли точка М0 с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0?
Решение.

Если М0 действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М0 в заданные уравнения:
формула

Получили два верных равенства, следовательно, М0 (2, -3) - точка пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.

Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения.
изображение
ответ:

да, точка М0 (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.
Пример.

Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?
Решение.

Подставим координаты точки М0 в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М0 обеим прямым одновременно:
формула

Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М0 не обратилось в верное равенство, то точка М0 не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М0 не является точкой пересечения заданных прямых.

На чертеже также хорошо видно, что точка М0 не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0. Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2).
изображение
ответ:

М0 (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0.
Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями формула и формула соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М0 и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых формула и формула.

Точка M0 принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений формула (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.
Решение.

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: формула. Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:
формула

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.
ответ:

M0 (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.
Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых формула и формула.
Решение.

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой формула к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:
формула

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой формула:
формула

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида формула