89, 504
Объяснение:
Б) Пусть aК(n) - количество строк длины n, которые оканчиваются на К, и aA(n) - количество строк длины n, которые оканчиваются на А. Очевидно, aK(1) = aA(1) = 1.
Посчитаем, чему равны aK(n + 1) и aA(n + 1).
К можно дописать к любой строке, которая кончается на А. Поэтому aK(n + 1) = aA(n)A можно приписать вообще к любой строке. Значит, aA(n + 1) = aA(n) + aK(n)Общее количество строк длины n > 2 равно a(n) = aK(n) + aA(n) = aA(n - 1) + a(n - 1) = a(n - 1) + a(n - 2).
Вычисляем значения a(n):
a(1) = 2
a(2) = 3 (АА, АК, КА)
a(3) = 2 + 3 = 5
a(4) = 3 + 5 = 8
a(5) = 5 + 8 = 13
a(6) = 8 + 13 = 21
a(7) = 13 + 21 = 34
a(8) = 21 + 34 = 55
a(9) = 34 + 55 = 89
В последовательности можно увидеть известную последовательность Фибоначчи.
В) Аналогично, введем aA(n), aК(n), aKK(n) - количество строк, оканчивающихся на А, ровно одно К и ровно два К. Общее количество строк будем так же обозначать как a(n).
aA(n + 1) = a(n)
aK(n + 2) = aA(n + 1) = a(n)
aKK(n + 3) = aK(n + 2) = a(n)
Итого, при n > 3 выполнено a(n) = a(n - 1) + a(n - 2) + a(n - 3).
a(1) = 2
a(2) = 4
a(3) = 7 (всего строк длины три 8, не подходит ККК).
a(4) = 2 + 4 + 7 = 13
a(5) = 4 + 7 + 13 = 24
a(6) = 7 + 13 + 24 = 44
a(7) = 13 + 24 + 44 = 81
a(8) = 24 + 44 + 81 = 149
a(9) = 44 + 81 + 149 = 274
a(10) = 81 + 149 + 274 = 504
Если в случае возникла последовательность Фибоначчи, то тут так называемая последовательность Трибоначчи - каждый новый член равен сумме трёх предыдущих
ответ:Алгоритм Карацубы — метод быстрого умножения со сложностью вычисления nlog23. В то время, как наивный алгоритм, умножение в столбик, требует n2 операций. Следует заметить, что при длине чисел короче нескольких десятков знаков (точнее определяется экспериментально), быстрее работает обычное умножение.
Представим, что есть два числа A и B длиной n в какой-то системе счисления BASE:
A = an-1an-2...a0
B = bn-1an-2...a0, где a?, b? — значение в соотв. разряде числа.
Каждое из них можно представить в виде суммы их двух частей, половинок длиной m = n / 2 (если n нечетное, то одна часть короче другой на один разряд:
A0 = am-1am-2...a0
A1 = an-1an-2...am
A = A0 + A1 * BASEm
B0 = bm-1bm-2...b0
B1 = bn-1bn-2...bm
B = B0 + B1 * BASEm
Тогда: A * B = ( A0 + A1 * BASEm ) * ( B0 + B1 * BASEm ) = A0 * B0 + A0 * B1 * BASEm + A1 * B0 * BASEm + A1 * B1 * BASE2 * m = A0 * B0 + ( A0 * B1 + A1 * B0 ) * BASEm + A1 * B1 * BASE2 * m
Здесь нужно 4 операции умножения (части формулы * BASE? * m не являются умножением, фактически указывая место записи результата, разряд). Но с другой стороны:
( A0 + A1 ) * ( B0 + B1 ) = A0 * B0 + A0 * B1 + A1 * B0 + A1 * B1
Посмотрев на выделенные части в обоих формулах. После несложных преобразований количество операций умножения можно свести к 3-м, заменив два умножения на одно и несколько операций сложения и вычитания, время выполнения которых на порядок меньше:
A0 * B1 + A1 * B0 = ( A0 + A1 ) * ( B0 + B1 ) — A0 * B0 — A1 * B1
Окончательный вид выражения:
A * B = A0 * B0 + (( A0 + A1 ) * ( B0 + B1 ) — A0 * B0 — A1 * B1 ) * BASEm + A1 * B1 * BASE2 * m
Объяснение:
