Язык программирования :питон

Каждая из компонент связности должна быть кликой (иначе говоря, каждые две вершины в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:



Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа.

Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1.

Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов:

Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине.

Итак, должно выполняться


Подставив в исходную формулу, получаем


Это и есть ответ.

//Описание добавить не вышло на сайт, посему - в файле

#include "stdafx.h"
#include <conio.h>

void swap(short &a, short &b) {
    short c = a;
    a = b;

    b = c;
}

void sort(short &a, short &b, short &c)
{
    short min = a,
        max = c;
    if (min > b) min = b;
    if (min > c) min = c;
    if (max < a) max = a;
    if (max < b) max = b;
    b = a + b + c - min - max;
    a = min;
    c = max;
}

int main()
{
    short a1, b1, c1, a2, b2, c2;
    scanf_s("%hd %hd %hd", &a1, &b1, &c1);
    scanf_s("%hd %hd %hd", &a2, &b2, &c2);

    sort(a1, b1, c1);
    sort(a2, b2, c2);

    if ((a1 == a2) && (b1 == b2) && (c1 == c2))
        printf("Boxes are equal");
    else
        if ((a1 <= a2) && (b1 <= b2) && (c1 <= c2))
            printf_s("The first box is smaller than the second one");
        else
            if ((a2 <= a1) && (b2 <= b1) && (c2 <= c1))
                printf_s("The first box is larger than the second one");
            else
                printf_s("Boxes are incomparable");

    _getch();
    return 0;
}