Человек зашёл в подъезд и ему надо подняться на 20ю ступеньку. найдите, сколько существует разных перехода на 20ю ступеньку, если человек за один шаг может перейти на следующую ступеньку или перепрыгнуть через неё.

Суть нужного алгоритма в следующем:
Заводим массив из 21 члена. Первый член будет соответствовать первой ступени. Приравняем его значение к единицы. Таким образом для каждой ступени будем считать количество вариантов на неё попадания. Для каждой ступени это будет суммой предыдущих двух членов. 
То есть a[0]=1, тогда:
a[1]=1 //на первую ступень можно попасть одним
a[2]=1+1=2 //на вторую ступень двумя - с нулевой и с первой
a[3]=2+1=3 //на третью ступень можно попасть либо с первой, либо со второй, на которую в свою очередь можно попасть двумя
a[4]=3+2=5
a[5]=5+3=8
и так далее

Заметим, что это последовательность Фибоначчи. Тогда решением будет 21-й член этой прогрессии. Можно посчитать вручную, либо через программу. ответ 10 946.