Кузнечик сидит на берегу болота. он хочет перебраться на другой берег. в болоте цепочкой расположено шесть кочек. кузнечик может прыгать тремя на следующую кочку, через кочку, через две кочки. сколько существует различных которыми кузнечик может перебраться на другой берег болота? как получили?

Кузнечик сидит в точке 0. Будем считать, что количество как попасть в точку ноль - 1. 

У нас всего 6 кочек, 6  - конечная.
Мы перемещаемся либо на последующую (+1), либо через одну (+2), либо через две (+3). То есть если мы были на кочке один и прыгнули через две кочки, то попадем в кочку 4 (1 + 3). 

Начнём считать.
0 - мы на первом берегу. Наши кочки: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 обозначены СЛЕВА. 7 этапом мы прыгнем на другой берег.

1: [0] = 1 сп.
2: [0,1] = 1 + 1 = 2 сп. 
3: [0,1, 2] = 1 + 1 + 2 = 4 сп.
4: [1, 2, 3] = 1 + 2 + 4 = 7 сп.
5: [2, 3, 4] = 2 + 4 + 7 = 13 сп.
6: [3, 4, 5] = 4 + 7 + 13  = 24 сп.
7: [4, 5, 6] = 7 + 13 + 24 = 44 сп. 

Всего существует как перебрать на другой берег болота.

P.S. В квадратных скобка [] обозначены индексы из каких точек мы можем попасть в эту точку. Достаточно сложить количество путей тех точек и мы получим количество путей для данной точки.