Существует ли двузначное число, которое в системах с основаниями p=6 и q=8 записывается одними же цифрами, но в обратном порядке? ответ обоснуйте.

Нет

вот код Ruby

for i in "10".to_i(8).."55".to_i(6)
    p [i, i.to_s(6),i.to_s(8)]
end

вывод (в 10чной, 6чной, 8чной)

[8, "12", "10"]
[9, "13", "11"]
[10, "14", "12"]
[11, "15", "13"]
[12, "20", "14"]
[13, "21", "15"]
[14, "22", "16"]
[15, "23", "17"]
[16, "24", "20"]
[17, "25", "21"]
[18, "30", "22"]
[19, "31", "23"]
[20, "32", "24"]
[21, "33", "25"]
[22, "34", "26"]
[23, "35", "27"]
[24, "40", "30"]
[25, "41", "31"]
[26, "42", "32"]
[27, "43", "33"]
[28, "44", "34"]
[29, "45", "35"]
[30, "50", "36"]
[31, "51", "37"]
[32, "52", "40"]
[33, "53", "41"]
[34, "54", "42"]
[35, "55", "43"]

аналитическое решение

8*a+b = 6*b+a  ОДЗ: a in (1;7) in N, b in (1;5) in N
7a=5b
a = 5b/7 - наименьшее целочисленное решение при b = 7 что не входит в ОДЗ