Применим статистику Ферми-Дирака к описанию поведения электронов проводимости в металлах. Будем пользоваться моделью свободных электронов, согласно которой часть атомных электронов может свободно перемещаться по всему проводнику. Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны. Отщепленные электроны становятся общими для всех атомов и могут свободно перемещаться в кристалле. Именно эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводность металлов. Поэтому их называют электронами проводимости.
Следует отметить, что электроны проводимости в металлах не являются, вообще говоря, абсолютно свободными и испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Однако в первом приближении этим взаимодействием можно пренебречь. Справедливость такого подхода подтверждается, в частности, высокой проводимостью металлов, что может иметь место только в случае достаточно свободного движения электронов внутри проводника. Таким образом, мы будем рассматривать идеальный газ свободных электронов, для которых металлический образец является потенциальной ямой (см. раздел 4.3).
Рассмотрим поведение электронного газа при . В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно запрету Паули в каждом состоянии может находится не более одного электрона, но т.к. электроны могут различаться проекцией спина , то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов. Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням показано на рис.6.10.
Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбужденном энергетическом уровне, следующая пара электронов - на втором
Рис.6.10
Рис. 6.10.
возбужденном уровне и т.д. Если число электронов в металле равно , то при будут заполнены первые уровней с энергией . Все остальные уровни с энергией будут свободны. Сравнивая полученный результат с распределением Ферми-Дирака при , приходим к выводу, что максимальная энергия электронов совпадает с энергией Ферми .
Следует отметить, что хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным (см. (6.5)), уровни энергии расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным). Численные оценки, подтверждающие справедливость такого подхода, выполнены в задаче 6.5 .
Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергии. Плотность квантовых состояний для электронов в металле, т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, согласно (6.29) имеет вид
Формула 6.51 (6.51)
Произведение на ширину энергетического интервала определяет число состояний, приходящихся на интервал энергий от до . Умножая это произведение на , т.е. на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов , энергия которых лежит в интервале от до
Формула 6.52 (6.52)
Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в металле
Формула 6.53 (6.53)
Выражения (6.52) и (6.53) удобно записывать не для полного числа электронов в металле , а для концентрации электронов . С учетом вида (6.51) получаем
Формула 6.54 (6.54)
и
Формула 6.55 (6.55)
Функция
Формула 6.56 (6.56)
входящая в выражения (6.54) и (6.55), называется функцией распределения свободных электронов по энергиям. При функция имеет вид
Формула 6.57 (6.57)
и распределение электронов по энергиям описывается выражением
Формула 6.58 (6.58)
График зависимости функции распределения (6.57) от энергии при приведен на рис. 6.11. Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой , численно равна концентрации свободных электронов в металле .
Рис.6.11
Рис. 6.11.
Отметим, что функции распределения играют в статистической физике очень важную роль. Так, например, если известна функция распределения частиц по энергиям , то можно найти среднее значение любой физической величины , зависящей от . Оно определяется соотношением
Объяснение:
