Найдите острый угол между прямыми: 1) y=3x и y=-x
2) 2x-3y+6=0 и 3x-y-3=0
3) x/5 + y/2=1 и x/3 + y/4=1
4) 3x+4y-12=0 и 15x-8y-45=0

Давайте решим каждый из данных примеров по очереди:

1) Для начала, мы знаем, что острым углом является угол между прямыми, который меньше 90 градусов.

У нас даны две прямые: y=3x и y=-x. Чтобы найти угол между ними, мы можем найти угловые коэффициенты прямых и использовать формулу для нахождения угла между прямыми.

Формула для нахождения угла между прямыми: угол = arctan(|(m1 - m2)/(1 + m1*m2)|), где m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых.

Для первой пары прямых:
Угловой коэффициент прямой y=3x: m1 = 3
Угловой коэффициент прямой y=-x: m2 = -1

Теперь мы можем найти угол: угол = arctan(|(3 - (-1))/(1 + 3*(-1))|) = arctan(4/4) = arctan(1) = 45 градусов.

Ответ: Острый угол между прямыми y=3x и y=-x равен 45 градусов.

2) Для второго примера у нас две прямые: 2x-3y+6=0 и 3x-y-3=0. Аналогично первому примеру, мы найдем угловые коэффициенты и подставим их в формулу для нахождения угла.

Преобразуем уравнение 2x-3y+6=0 для нахождения углового коэффициента:
2x-3y+6 = 0
3y = 2x + 6
y = (2/3)x + 2

Угловой коэффициент первой прямой: m1 = 2/3

Преобразуем уравнение 3x-y-3=0 для нахождения углового коэффициента:
3x-y-3 = 0
y = 3x - 3

Угловой коэффициент второй прямой: m2 = 3

Теперь мы можем найти угол: угол = arctan(|(2/3 - 3)/(1 + 2/3*3)|) = arctan(|(-7/3)/(1 + 2)|) = arctan(|-7/9|) = arctan(7/9) ≈ 38.66 градусов.

Ответ: Острый угол между прямыми 2x-3y+6=0 и 3x-y-3=0 около 38.66 градусов.

3) В третьем примере у нас две прямые: x/5 + y/2=1 и x/3 + y/4=1. Аналогично, нам нужно найти их угловые коэффициенты и подставить их в формулу.

Приведем уравнение x/5 + y/2=1 к общему знаменателю:
2x + 5y = 10

Угловой коэффициент первой прямой: m1 = -2/5

Приведем уравнение x/3 + y/4=1 к общему знаменателю:
4x + 3y = 12

Угловой коэффициент второй прямой: m2 = -4/3

Теперь мы можем найти угол: угол = arctan(|(-2/5 - (-4/3))/(1 + (-2/5)*(-4/3))|) = arctan(|(-6/15 - (-20/15))/(1 + 8/15)|) = arctan(|(14/15)/(23/15)|) = arctan(14/23) ≈ 31.80 градусов.

Ответ: Острый угол между прямыми x/5 + y/2=1 и x/3 + y/4=1 около 31.80 градусов.

4) В четвертом примере у нас две прямые: 3x+4y-12=0 и 15x-8y-45=0. Точно так же, найдем их угловые коэффициенты и подставим их в формулу.

Приведем уравнение 3x+4y-12=0 к виду y = mx + c:
4y = -3x + 12
y = (-3/4)x + 3

Угловой коэффициент первой прямой: m1 = -3/4

Приведем уравнение 15x-8y-45=0 к виду y = mx + c:
-8y = -15x + 45
y = (15/8)x - 45/8

Угловой коэффициент второй прямой: m2 = 15/8

Теперь мы можем найти угол: угол = arctan(|(-3/4 - (15/8))/(1 + (-3/4)*(15/8))|) = arctan(|(-24/32 - 30/32))/(1 + (-45/32))|) = arctan(|(-54/32))/(32/32)) = arctan((54/32)/1) ≈ 57.67 градусов.

Ответ: Острый угол между прямыми 3x+4y-12=0 и 15x-8y-45=0 около 57.67 градусов.

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти острый угол между прямыми при помощи угловых коэффициентов и формулы.