Даны гиперболы 9x^2-4y^2=144. найдите длины осей, координаты вершин, фокусов, уравнение асимптот и эксцентриситет. постройте гиперболу.

Привет! Рад, что я могу выступить в роли твоего школьного учителя и помочь тебе с этим вопросом о гиперболах.

Для начала, давай решим поставленную задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем длины осей.
Уравнение гиперболы дано в следующем виде: 9x^2 - 4y^2 = 144.
Чтобы найти длины осей, нам нужно найти значения a и b в стандартном уравнении гиперболы (x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1).

a - это длина полуоси, расположенной вдоль оси x.
b - это длина полуоси, расположенной вдоль оси y.

Для нахождения a и b, мы можем представить данное уравнение в таком виде:
(9x^2 / 144) - (4y^2 / 144) = 1.

Теперь сравним полученное уравнение с уравнением стандартной гиперболы.
(9x^2 / a^2) - (4y^2 / b^2) = 1.

Мы можем сделать следующие выводы:
a^2 = 144, следовательно a = √144 = 12 (так как a всегда положительное число).
b^2 = 144, следовательно b = √144 = 12.
Таким образом, длины осей гиперболы равны 12 и 12.

Шаг 2: Найдем координаты вершин.
Координаты вершин гиперболы могут быть найдены, используя формулы (±a, 0) и (0, ±b).

Итак, координаты вершин будут:
V1 = (12, 0)
V2 = (-12, 0)
V3 = (0, 12)
V4 = (0, -12)

Шаг 3: Найдем координаты фокусов.
Фокусы гиперболы могут быть найдены, используя формулы (±c, 0), где c - это расстояние от центра гиперболы до фокусов.
Фокусы гиперболы также связаны с длинами полуосей следующим образом: c^2 = a^2 + b^2.

Мы уже знаем из предыдущего шага, что a = 12 и b = 12.
Теперь, рассчитаем c.
c^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288.
c = √288 = 12√2 (так как c всегда положительное число).

Итак, координаты фокусов будут:
F1 = (12√2, 0)
F2 = (-12√2, 0)

Шаг 4: Найдем уравнение асимптоты.
Уравнение асимптоты гиперболы можно найти с помощью формулы y = ±(b/a)x.

Мы уже знаем из предыдущего шага, что a = 12 и b = 12.
Теперь подставим эти значения в формулу:
y = ±(12/12)x = ±x.

Итак, уравнение асимптоты будет:
y = x
y = -x

Шаг 5: Найдем эксцентриситет.
Эксцентриситет гиперболы можно найти с помощью формулы e = √(a^2 + b^2) / a.

Мы уже знаем, что a = 12 и b = 12.
Подставим эти значения в формулу:
e = √(12^2 + 12^2) / 12 = √(144 + 144) / 12 = √288 / 12.

Итак, эксцентриситет гиперболы будет:
e = √288 / 12 = 12√2 / 12 = √2.

Шаг 6: Построение гиперболы.
Чтобы построить гиперболу на координатной плоскости, мы можем использовать найденные значения.

Начнем с координатных осей (ось x и ось y) и отметим на них координаты вершин (V1, V2, V3, V4), фокусов (F1, F2), и рисуем асимптоты.

Затем проведем отрезки, от фокусов F1 и F2 до точек на гиперболе, чтобы получить кривую форму гиперболы.

Таким образом, график гиперболы 9x^2 - 4y^2 = 144 будет иметь следующий вид:

(График гиперболы)

Надеюсь, мой ответ был полезен и понятен. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!