8. найти подходящие дроби числа 4163/1902

9. записать числа 36545(7) и 42(5) в системе счисления с основанием 9 и в этой системе счисления разделить с остатком большее на меньшее.

10. записать числа 6467(8) и 101(3) в системе счисления с основанием 5 и в этой системе счисления разделить с остатком большее на меньшее.

11. доказать, что выражение 2^(−1)+2^+2^(+1) нацело делится на 14.

На греческом острове покоятся нетленные мощи пленного солдата никогда не пустеет дорога к храму на острове эвбея, в котором покоятся нетленные мощи пленного солдата и одного из самых почитаемых православных святых греции. если несколько перефразировать и «эллинизировать» известную поговорку, что все дороги ведут в рим, то можно сказать, что все дороги на втором по величине острове греции — эвбее — ведут к св. ивану . где бы вы ни были, вы всегда увидите указатель «святой иоаннис россос» и направление маршрута к храму, где покоятся нетленные мощи пленного солдата из войска петра великого и одного из самых почитаемых православных святых греции. это ли не чудо! в стране, где к иностранцам (ксеносам, в буквальном переводе — чужакам) всегда относились несколько настороженно, в «безбожном» xx веке распространился культ солдата-святого, мощи которого привлекают бесчисленных паломников и жаждущих исцелиться и творят чудеса. удивительная жизни, а затем и жития иоанниса россоса началась чуть более трехсот лет назад. родившись где-то на юге россии, он стал в 1711 году простым солдатом армии и был им в течение семи лет, пока не попал под азовом в турецкий плен. иван был доставлен в стамбул, а затем был продан в рабство в малую азию в город прокопио в хозяйство турецкого аги, командира янычар, человека властного и жестокого, потребовавшего обратить «неверного» в ислам. когда пленный вежливо, но твердо отверг предложение турок, его стали пытать. ивана постоянно избивали палками, душили, пинали ногами, жгли раскаленным железом, бросали по ночам в хлев спать вместе с животными. однако он оставался тверд и в постоянных молитвах все более укреплялся в православной вере. сила веры и мужество солдата, морально побеждавшего своих истязателей, поразило многонациональное население прокопио — греков, армян и даже турок, в массе своей симпатизировавших несгибаемому «кафиру» . слух о необычном узнике распространился далеко за пределами прокопио. наконец, иван предстал перед грозным пашой, потребовавшим у него ответа, почему тот упорствует и не желает переходить в ислам. «я верую в бога моего иисуса христа, — повторил ему солдат. — мне не страшны пытки и мучения, от них моя вера становится еще крепче» . паша был потрясен ответом ивана, но приказал продолжать истязания непокорного, скончавшегося в результате пыток 27 мая 1730 года. местные христиане предали с почестями земле его тело, однако когда через 3,5 года могилу ивана вскрыли, жители прокопио стали свидетелями чуда — тление не тронуло тела праведника. узнавшие об этом турецкие власти пришли в неистовство. янычары отобрали у православных тело ивана и бросили его в костер. и тут чудо произошло вновь — огонь не тронул нетленные мощи, они лишь почернели от дыма и копоти. лишь тогда власть предержащие признали свое поражение и бессилие, а местные жители торжественно отнесли тело ивана в церковь и стали поклоняться ему как святому ивану . сюда стали стекаться верующие со всей малой азии, узнав о происходивших в прокопио чудесах исцеления. в 1922 году после малоазиатской катастрофы грекам пришлось покинуть восточные берега эгейского моря и бежать в грецию, взяв с собою лишь то, что они могли унести. жители прокопио не имели ничего более ценного, чем мощи ивана . в 1925 году они оказались в том месте, где находятся и сегодня — в городе со старым названием прокопио в центре острова эвбея, созданном переселенцами из малой азии, где святой продолжал и исцелять страждущих, устремившихся в прокопио со всей греции и из-за рубежа. болезни и недуги, перед которыми врачи были бессильны, отступали, на глазах верующих в этом священном месте полностью проходили, и это документально зафиксированные факты. храм, в котором выставлен серебряный саркофаг с мощами святого, был построен в 1951 году. войти в его узкую дверь не так просто — толпы людей всех возрастов постоянно находятся внутри него и за его

Это ряд,  последующий член этого ряда отличается от предыдущего на 1.

 а₁=(-45);  a₂ =(-44);  d=(-44)-(-45)= 1;  последний (n-ый) член ряда an = 43.

Найдем число членов этого ряда по формуле:  аn = a₁ +d(n-1);

(n-1) = (an-a₁)/d;  n=[(an-a₁)/d] +1 =[(43-(-45))/1] +1= 88+1 = 89;

Sn, сумма n членов ряда. Sn= (a₁+an)·n/2 ;

Найдем сумму 89 членов (S₈₉) нашего ряда:

S₈₉ = [(-45) + 43]·89/2 = (-2)·89/2 = - 89

ответ: сумма равна минус 89

   Можно решить и без использования формул ряда.

Если посмотреть на этот ряд, то можно заметить, сто начиная с -43 числа имеют противоположное число, отличающееся по знаку, но равное по модулю. Так как их сумма будет равна нулю

(-43+43=0; -42+42+0; , -2+2=0; -1+1=0 ),

то сумму всего ряда определит сумма двух чисел, не имеющих противоположных себе на правой стороне числовой оси.

(-45) + (-44) = -89

ответ: -89