Докажите, что при всех натуральных n выполнено нерав-во:
(1+1/2)(1+1/4)(1+1/+1/2^n) < 3

Дано:  y = x² - 2x + 3

Исследование: (не очень интересная для исследования).  

1. Область определения D(у) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная, гладкая.

2. Пересечение с осью Х. Находим корни  уравнения.

Дискриминант D= -8. √48. Вещественных корней нет.

3. Поведение на бесконечности. limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞  

4. Интервалы знакопостоянства.

Y(x)> 0 - X∈(-∞;+∞) - во всём интервале определения.

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 3.  

5. Исследование на чётность.Y(-x) = x² +2х+3 ≠ Y(x). Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная ни нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= 2*Х - 2 = 2*(x - 1) = 0.  

Корень при Х=  1.  

7. Локальные экстремумы в корнях первой производной.  

Минимум – Ymin(Х=1) = 2.  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает - Х∈(1;+∞), убывает = Х∈[Х₄; 1].  

ВНИМАНИЕ на скобки - нет разрывов - квадратные скобки.

9. Вторая производная - Y"(x) = 2.  

Корень производной - нет

10.

Вогнутая – "ложка" Х∈(-∞; +∞).  - во всём интервале определения.

11. ВАЖНО: Асимптот - нет, ни вертикальных, ни горизонтальных, ни наклонных.

12. Область значений. E(y) - У∈ [2;+∞).

13. Рисунок к задаче с графиком в приложении.  

Начнем с того, что его детство и юность очень напоминает этот отрезок жизни князей Святослава и Александра Невского. Как и они, Дмитрий начал княжить малолетним отроком 6 лет от роду. Сын великого князя Иоанна Кроткого, внук Ивана Калиты родился в 1350 году. После неожиданной смерти отца в 1356 году стал князем, а еще через три года великим князем получив в Орде! великокняжеский ярлык, причем сразу от двух враждующих группировок татарской верхушки. Знак, думается, далеко не случайный. Понятно, что правил мальчик-князь под крыло боярской думы, но руководил то думой, а значит и всей Русью великий святитель митрополит Алексий. Большой друг умершего князя Иоанна, он заменил Дмитрию отца на долгое время,
Святой благоверный великий князь Дмитрий Донской в отличие от своего прадеда Александра Невского в среде историков и художников не пользовался таким непререкаемым авторитетом, как его предок. Признавая судьбоносность для русского государства Куликовской битвы, довольно значительное число исследователей событий 14 века явно принижают одного из главных, мирового масштаба, деятелей того времени, его политический, военный талант, личностные черты характера. Грешили этим и известные дореволюционные историки. Так, историк Н. И. Костомаров пишет: «Личность великого князя Дмитрия Донского представляется по источникам неясною. (Сие весьма странно – С. К. ) Мы видим, что в его отрочестве, когда он никак не мог действовать самостоятельно, бояре вели дела точно в таком же духе, в каком бы их вел и совершеннолетний князь. Летописи, уже описывая его кончину, говорят, что он во всем советовался с боярами и слушался их, что бояре были у него как князья; так же он завещал поступать и своим детям. От этого невозможно отделить: что из его действий принадлежит собственно ему и что его боярам; по некоторым чертам можно даже допустить, что он был человек мало и потому руководимый другими; и этим можно отчасти объяснить те противоречия в его жизни, которые бросаются в глаза: то смешение отваги с нерешительностью, храбрости с трусостью, ума с бестактностью, прямодушия с коварством, что выражается во сей его истории сам Дмитрий не был князем мудростью правления облегчить тяжелую судьбу народа; действовал ли он от себя или по внушениям бояр своих – в его действиях виден ряд промахов. Следуя задаче подчинить Москве русские земли, он не только не умел достигать своих целей, но даже упускал из своих рук то, что ему доставляли сами обстоятельства…» . Грешили и ангажированные советские историки-безбожники.