Как это решить?
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0
нужно с поворота и параллельного переноса получить каноническое уравнение.

Для решения данной задачи, мы проведем следующие шаги:

Шаг 1: Группировка слагаемых
Сначала группируем слагаемые с x и слагаемые с y вместе:
(x^2 - 2xy + y^2) - 10x - 6y + 25 = 0

Шаг 2: Дополнение квадрата
Теперь нам нужно преобразовать выражение (x^2 - 2xy + y^2) в квадратичную форму. Для этого мы будем использовать дополнение квадрата.

Мы знаем, что (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. В данном случае, мы можем представить x^2 - 2xy + y^2 как (x - y)^2. Чтобы сохранить равенство, необходимо добавить и вычесть (y^2 - 10x). Обновленное уравнение будет выглядеть следующим образом:
(x - y)^2 + (y^2 - 10x) - 6y + 25 = 0

Шаг 3: Перегруппировка слагаемых
Мы можем перегруппировать слагаемые, чтобы привести уравнение к более удобному виду:
(x - y)^2 - 6y + (y^2 - 10x) + 25 = 0

Шаг 4: Упрощение
Теперь мы можем упростить уравнение, объединив некоторые слагаемые:
(x - y)^2 - 6y + y^2 - 10x + 25 = 0

Шаг 5: Проведение параллельного переноса
Для проведения параллельного переноса, мы должны избавиться от слагаемых с x и y. Для этого, мы выносим -6y и -10x за скобки и прибавляем соответствующие значения в обе части уравнения:
(x - y)^2 - 6y + y^2 - 10x + 25 - 6y - 10x = 0 - 6y - 10x

Это приводит к следующему уравнению:
(x - y)^2 - 6y - 6y + y^2 - 10x - 10x + 25 = -6y - 10x

Шаг 6: Упрощение
Домножим каждый коэффициент на -1, чтобы получить положительные значения:
(x - y)^2 + 12y - 12y + y^2 - 20x - 20x + 25 = 6y + 10x

(x - y)^2 + y^2 - 24x - 24y + 25 = 6y + 10x

Шаг 7: Поворот
Теперь мы проведем поворот, чтобы избавиться от слагаемых с xy. Для этого, мы должны найти угол поворота, который будет отрицательным коэффициентом при xy. В данном случае, у нас есть коэффициент -2 при xy, поэтому угол поворота будет arctan(-2).

Угол поворота cos(θ) = 1 / sqrt(1 + tan^2(θ)), где θ - угол поворота.

cos(θ) = 1 / sqrt(1 + (-2)^2)
cos(θ) = 1 / sqrt(1 + 4)
cos(θ) = 1 / sqrt(5)

sin(θ) = sqrt(1 - cos^2(θ))
sin(θ) = sqrt(1 - (1/sqrt(5))^2)
sin(θ) = sqrt(1 - 1/5)
sin(θ) = sqrt(4/5)
sin(θ) = 2 / sqrt(5)

Теперь мы знаем sin(θ) и cos(θ), и можем использовать их для проведения поворота. По формуле угла поворота применим следующие замены:
x = x' * cos(θ) - y' * sin(θ)
y = x' * sin(θ) + y' * cos(θ)

Подставляем эти значения в уравнение, получаем:
((x' * cos(θ) - y' * sin(θ)) - (x' * sin(θ) + y' * cos(θ)))^2 + ((x' * sin(θ) + y' * cos(θ)))^2 + y^2 - 24(x' * cos(θ) - y' * sin(θ)) - 24(x' * sin(θ) + y' * cos(θ)) + 25 = 6(x' * sin(θ) + y' * cos(θ)) + 10(x' * cos(θ) - y' * sin(θ))

Шаг 8: Упрощение
Продолжим упрощать уравнение:
(x'^2 * cos^2(θ) - 2 * x' * y' * cos(θ) * sin(θ) + y'^2 * sin^2(θ)) + (x'^2 * sin^2(θ) + 2 * x' * y' * cos(θ) * sin(θ) + y'^2 * cos^2(θ)) + y^2 - 24 * x' * cos(θ) + 24 * y' * sin(θ) - 24 * x' * sin(θ) - 24 * y' * cos(θ) + 25 = 6 * x' * sin(θ) + 6 * y' * cos(θ) + 10 * x' * cos(θ) - 10 * y' * sin(θ)

Упрощая еще больше, получим:
x'^2 * (cos^2(θ) + sin^2(θ)) + y'^2 * (sin^2(θ) + cos^2(θ)) + y^2 + 24 * (y' * sin(θ) - x' * cos(θ)) - 24 * (y' * cos(θ) + x' * sin(θ)) + 25 = 6 * (x' * sin(θ) + y' * cos(θ)) + 10 * (x' * cos(θ) - y' * sin(θ))

Так как cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1, то упрощаем еще раз:
x'^2 + y'^2 + y^2 + 24 * (y' * sin(θ) - x' * cos(θ)) - 24 * (y' * cos(θ) + x' * sin(θ)) + 25 = 6 * (x' * sin(θ) + y' * cos(θ)) + 10 * (x' * cos(θ) - y' * sin(θ))

Шаг 9: Перенос
Для осуществления параллельного переноса, мы должны трансформировать координатную систему, чтобы избавиться от слагаемых с x' и y'. Для этого, мы проведем перенос на (-12, -12), чтобы получить новые координаты x'' и y'':
x'' = x' + 12
y'' = y' + 12

Шаг 10: Замена переменных
Подставляем значения x'' и y'' в уравнение:
x''^2 + y''^2 + (y'' - 12)^2 + 24 * ((y'' - 12) * sin(θ) - (x'' - 12) * cos(θ)) - 24 * ((y'' - 12) * cos(θ) + (x'' - 12) * sin(θ)) + 25 = 6 * ((x'' - 12) * sin(θ) + (y'' - 12) * cos(θ)) + 10 * ((x'' - 12) * cos(θ) - (y'' - 12) * sin(θ))

Шаг 11: Упрощение
Продолжаем упрощать уравнение:
x''^2 + y''^2 + y''^2 - 24 * y''sin(θ) + 288 * sin(θ) + 288 * cos(θ) - 24 * y''cos(θ) - 24 * sin(θ) - 24 * cos(θ) + 144 + 25 = 6 * x''sin(θ) + 72 * sin(θ) + 72 * cos(θ) + 10 * x''cos(θ) - 120 * cos(θ) - 120 * sin(θ)

Смещаем слагаемые синусов и косинусов в одну часть уравнения, а остальные слагаемые в другую:
x''^2 + y''^2 + y''^2 - 24 * y''sin(θ) - 24 * y''cos(θ) - 24 * sin(θ) - 24 * cos(θ) + 25 + 144 = 6 * x''sin(θ) + 10 * x''cos(θ) + 72 * sin(θ) + 72 * cos(θ) - 120 * cos(θ) - 120 * sin(θ) - 288 * sin(θ) - 288 * cos(θ)

x''^2 + 2 * y''^2 - 24 * (y''sin(θ) + y''cos(θ) + sin(θ) + cos(θ)) + 169 = 2 * x''sin(θ) + 82 * sin(θ) + 48 * cos(θ) - 72 * cos(θ) - 408 * sin(θ)

Шаг 12: Упрощение
Упрощаем дальше:
x''^2 + 2 * y''^2 - 24 * (y''sin(θ) + y''cos(θ) + sin(θ) + cos(θ)) + 169 = 2 * x''sin(θ) - 326 * sin(θ) - 24 * sin(θ)

x''^2 + 2 * y''^2 - 24 * (y''sin(θ) + y''cos(θ) + sin(θ) + cos(θ)) + 169 = 2 * x''sin(θ) - 350 * sin(θ)

Шаг 13: Упорядочивание
Упорядочим слагаемые, чтобы получить каноническое уравнение:
x''^2 - 2 * x''sin(θ) - 2 * y''^2 - 24 * y''sin(θ) - 24 * y''cos(θ) - 24 * sin(θ) - 24 * cos(θ) + 169 + 350 * sin(θ) = 0

Ответ: Получили каноническое уравнение:
x''^2 - 2 * x'' * sin(θ) - 2 * y''^2 - 24 * y''(sin(θ) + cos(θ)) - 24(sin(θ) + cos(θ)) + 519 = 0

Надеюсь, данное объяснение поможет школьнику лучше понять, как решить данную задачу и получить каноническое уравнение с помощью поворота и параллельного переноса.