1. найти первообразную функции
а) f(x) = v7х + 1
б) f(x) = sin 3х-1/cos^2 x
в) f(x) =6x-2/v6x-1+1

2. вычислить интеграл
б) [4x' + 6x dx
а) |
бx 0, 25
e dr
i vxt
3. найти площадь фигуры ограниченной
линиями
ххк
y=cosx, y = -2cosx, --
6 2
4. для функции f(x) = 6sin4х найдите
первообразную, график которой проходит через
точку
- 0)

на фотке более понятнее , 100 , !

1. Нахождение первообразной функции:
а) Для функции f(x) = √(7x + 1)
Мы знаем, что производная функции √x равна 1/2√x. Поэтому нам нужно найти такую функцию, производная которой была бы равна √(7x + 1).
Для этого мы можем провести обратную операцию и возвести √(7x + 1) в квадрат:
(2/3(7x + 1))^(3/2) + C, где C - произвольная постоянная.

б) Для функции f(x) = sin(3x-1)/cos^2(x)
Заметим, что производная функции tan(x) равна 1/cos^2(x). Поэтому чтобы получить sin(3x-1)/cos^2(x), мы можем взять производную функции tan(3x-1):
tan(3x-1) + C, где C - произвольная постоянная.

в) Для функции f(x) = (6x-2)/(√(6x-1)+1)
Перейдем к замене переменной и пусть u = √(6x-1)+1:
Тогда du = (3/√(6x-1))dx, а (6x-2)dx = du.
Интеграл становится ∫(6x-2)/(√(6x-1)+1)dx = ∫du/u.
А это логарифмическая функция: ln|u| + C = ln|√(6x-1)+1| + C, где C - произвольная постоянная.

2. Вычисление интеграла:
а) ∫[4x' + 6x]dx
Мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:
∫4x'dx + ∫6xdx = 2x^2 + 3x^2 + C = 5x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

б) ∫e^(4x)dx
Это интеграл экспоненциальной функции, который можно вычислить по формуле:
∫e^nx dx = (1/n)e^nx + C = (1/4)e^(4x) + C, где С - произвольная постоянная.

и) ∫vt dx
Это интеграл от производной этой функции, поэтому ответ будет сама функция v(t) плюс произвольная постоянная C: vt + C.

3. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями:
Мы видим, что график функции y = cos(x) - 2cos(6x) проходит через точки x = 0 и x = 2π.
Используем определенный интеграл для вычисления площади:
∫[y(x) - ymin]dx, где ymin - это наименьшее значение y в заданном диапазоне (от 0 до 2π).

ymin = -2, поэтому ∫[cos(x) - 2cos(6x) + 2]dx = sin(x) - sin(6x)/6 + 2x + C, где C - произвольная постоянная. Вычисляем это интергал от 0 до 2π.

4. Нахождение первообразной функции для f(x) = 6sin(4x), проходящей через точку (0, -0):
Мы знаем, что первообразная функции sin(x) равна -cos(x). Поэтому первообразная функции 6sin(4x) равна -6cos(4x).
Если график должен проходить через точку (0, -0), то для этого значение функции должно быть равно -0 при x = 0.
Таким образом, -6cos(4x) = -0, и мы получаем cos(4x) = 0.
Решим это уравнение: 4x = π/2 + πk, где k - целое число.
Тогда x = π/8 + πk/4, и это будет наш ответ.