Исследовать функцию f (x) = 4x³–6x² и построить ее график.
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция f (x) = 4x³–6x² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.
f(–x) = 4(–x)³–6(–x)² = –(4x³+6x²) ≠ –f(x),
f(–x) = 4(–x)³3–6(–x)² = –(4x³+6x²) ≠ –f(x)
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, 4x³–6x²=0, 2x²(2x–3)=0 ⇒ x=0, x=3/2. Значит (0;3/2), - точки пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=0 ⇒ 12x²–12x =0 ⇒ 12x(x–1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1 - критические точки.
Если производная положительна - функция возрастает, если производная отрицательна - функция убывает:
отрезок -∞ < x < 0 функция возрастает,
отрезок 0 < x < 3/2 функция убывает,
отрезок 3/2 < X < ∞ функция возрастает.
7*. Вычисление второй производной: у =4x³–6x²,
f '(x) = 12x² - 12x. f ''(x) = 24x - 12.
y''=0, 24x–12= 0, x = 12/24 = 1/2.
8*. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
отрезок -∞ < x < 1/2 график функции выпуклый вверх,
точка перегиба х = 1/2,
отрезок 1/2< x < ∞ график функции выпуклый вниз.
9. Найдем значение функции в дополнительной точке: f(1/2) = 4*(1/2)³– 6(1/2)² = 4/8 -6/4 = (4-12) / 8 = -8/8 = –1.
10. Искомый график функции в приложении
4sin^2(x)+4cos(x)-5=0
По формуле sin^2(x)=1-cos^2(x):
4(1-cos^2(x))+4cos(x)-5=0
4-4cos^2(x)+4cos(x)-5=0
-4(cos(x))^2+4cos(x)-1=0
Сделаем замену переменной cos(x)=t:
-4t^2+4t-1=0 | *(-1)
4t^2-4t+1=0
D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*1=16-16=0
t=-b/2a=4/8=1/2
Сделаем обратную замену:
cos(x)=1/2
cos(α) = cos(2π - α) ⇒ cos(x) = 1/2 или cos(2π - x) = 1/2
1) x = arccos(1/2)
*** arccos(1/2) = π/3 ***
x = π/3
x = π/3 + 2πn, n ∈ Z
2) 2π - x = arccos(1/2)
2π - x = π/3
- x = π/3 - 2π
- x = (π - 6π)/3
- x = - 5π/3
- x = - 5π/3 + 2πn, n ∈ Z
x = 5π/3 - 2πn, n ∈ Z
ответ: x = π/3 + 2πn, n ∈ Z
x = 5π/3 - 2πn, n ∈ Z
