Вариант 2 высшая !
1. если матрица системы п уравнений квадратная и ее определитель не равен нулю, то система

a) не имеет решений;

б) имеет единственное решение;

b) имеет не более п решений;

г) имеет решений;

д) имеет бесконечно много решений.

2. решите систему линейных уравнений. методом крамера.

(3x - y + 2z = 13

2x + y z = 0

(5x + 3x + 7y = 28

3. найдите предел функции

1) lim(1 + 3) x

3)

4.2

x+12

4. найти производную функции:

4)slim

i)y= 2x1.3x3+2x-1

2) у (2х-6х3)5

5. исследовать свойства функции и построить график +1

3)y-vxz + 2

6. найти интеграл, используя формулу интегрирования по частям finx.

1)

1. Судя по варианту 2, в данном случае матрица системы уравнений является квадратной. И для определения решения системы нам нужно узнать, равен ли определитель этой матрицы нулю или нет.

Определитель матрицы системы уравнений обозначается как D. Если D≠0, то система имеет единственное решение. Если же D=0, то система может иметь либо бесконечно много решений, либо не иметь решений вообще.

Теперь посмотрим на данную систему уравнений:

3x - y + 2z = 13
2x + y + z = 0
5x + 3x + 7y = 28

Это система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (x, y, z). Мы можем записать ее в матричной форме, где первая строка - коэффициенты при x, y, z в первом уравнении, вторая строка - коэффициенты второго уравнения, и так далее:

| 3 -1 2 | | x | | 13 |
| 2 1 1 | * | y | = | 0 |
| 5 3 7 | | z | | 28 |

Для определения D нам нужно найти определитель данной матрицы. Для этого можно использовать метод Крамера.

2. Решение системы методом Крамера:

Для нахождения решения системы методом Крамера мы поочередно заменяем столбцы коэффициентов свободных членов в системе на столбец правой части и вычисляем определитель этой новой матрицы. Затем, делим полученные значения определителей на значение определителя исходной матрицы D.

Определитель D для данной системы найден в предыдущем шаге и равен 14.

Теперь находим определители Dx, Dy и Dz. Исходная матрица остается неизменной, а только правая часть меняется.

Dx = | 13 -1 2 |
| 0 1 1 |
| 28 3 7 |
= (13*1*7 + 2*0*28 + -1*1*28) - (28*1*2 + 7*0*13 + 3*-1*7)
= (91 + 0 - 28) - (56 + 0 - 21)
= 63 - 35
= 28

Dy = | 3 13 2 |
| 2 0 1 |
| 5 28 7 |
= (3*0*7 + 2*28*5 + 13*1*2) - (5*0*2 + 7*28*3 + 13*2*7)
= (0 + 280 + 26) - (0 + 588 + 182)
= 306 - 770
= -464

Dz = | 3 -1 13 |
| 2 1 0 |
| 5 3 28 |
= (3*1*28 + 13*2*5 + -1*3*13) - (5*1*13 + 28*2*3 + 3*-1*28)
= (84 + 130 + -39) - (65 + 168 + -84)
= 175 - 119
= 56

Теперь, чтобы найти значения переменных x, y и z, мы делим каждое значение Dx, Dy и Dz на D.

x = Dx/D = 28/14 = 2
y = Dy/D = -464/14 = -32/14 = -16/7
z = Dz/D = 56/14 = 4

Итак, решение данной системы уравнений:\[ x= 2, y = -\frac{16}{7}, z = 4 \]

3. Нахождение предела функции:

В данном вопросе нам нужно найти предел функции \[\frac{1+3x}{3x+4}\] при x стремящемся к 2.

Для вычисления предела мы можем просто подставить значение x=2 в функцию и вычислить результат:

\[\lim_{x\to2}\frac{1+3x}{3x+4} = \frac{1+3*2}{3*2+4} = \frac{1+6}{6+4} = \frac{7}{10}\]

Итак, предел функции равен \[\frac{7}{10}\].

4. Нахождение производной функции:

a) y = 2x^3 + 2x - 1

Чтобы найти производную функции, мы можем использовать правило дифференцирования каждого члена функции отдельно.

Производная от x^n, где n - константа, равна: \[nx^{n-1}\]

Таким образом:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(-1) = 6x^2 + 2
\]

b) y = (2x - 6x^3)^5

Производная от (f(x))^n, где f(x) - функция, равна: \[n(f(x))^{n-1} \cdot f'(x)\]

Применим это правило к данной функции:

\[
\frac{dy}{dx} = 5(2x - 6x^3)^4 \cdot \frac{d}{dx}(2x - 6x^3) = 5(2x - 6x^3)^4(2 - 18x^2)
\]

Итак, производная первой функции равна \[6x^2 + 2\], а производная второй функции равна \[5(2x - 6x^3)^4(2 - 18x^2)\].

5. Исследование свойств функции и построение графика:

Для исследования свойств функции, мы можем проанализировать ее производную функцию и определить значения x, для которых производная равна нулю, то есть точки экстремума. Также, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции, значения функции на этих интервалах, и т.д.

Так как в вопросе дана функция \[y = f(x) = vxz + 2\], но значения v и z не указаны, то нам сложно сделать подробный анализ функции.

Однако, мы можем построить график функции, чтобы визуально оценить ее свойства и форму.

Примерный график функции в общем виде может выглядеть следующим образом:

|
|
|
|
|
| .
| .
|._____________________
...__________________________|_________________________...
|

6. Нахождение интеграла:

Для нахождения интеграла используем формулу интегрирования по частям:

\[\int u \,dv = uv - \int v \,du\]

1) \[\int x \,dx\]

Используя формулу, можем применить интегрирование по частям.

Пусть u = x, dv = dx

Тогда du = dx, v = \[\int dx = x\]

Применяем формулу:

\[\int x \,dx = x \cdot x - \int x \,dx = x^2 - \int x \,dx = x^2 - \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{1}{2}x^2 + C\]

2) \[\int (e^x-1) \,dx\]

Используя формулу, можем применить интегрирование по частям.

Пусть u = e^x-1, dv = dx

Тогда du = e^x \,dx, v = \[\int dx = x\]

Применяем формулу:

\[\int (e^x-1) \,dx = (e^x-1) \cdot x - \int x \cdot e^x \,dx\]

Для нахождения \[\int x \cdot e^x \,dx\] мы можем применить интегрирование по частям еще раз.

Пусть u = x, dv = e^x \,dx

Тогда du = dx, v = e^x

Применяем формулу:

\[\int x \cdot e^x \,dx = x \cdot e^x - \int e^x \,dx = x \cdot e^x - e^x + C\]

Теперь подставляем полученные значения в начальное уравнение:

\[\int (e^x-1) \,dx = (e^x-1) \cdot x - (x \cdot e^x - e^x) + C = x \cdot e^x - x - e^x + C\]

Итак, интегралы равны \[\frac{1}{2}x^2 + C\] и \[x \cdot e^x - x - e^x + C\].

Поздравляю, мы рассмотрели все задачи. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!