Решит с уровнения (линейного) условие вопрос и решение. : ) ​

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

х чел. - было в комнате первоначально.

х-7 (чел.) - стало в комнате, кокда вышли 7 человек.

х-7+3 (чел.) - стало в комнате, когда вошли 3 человека.

х-7+3-4 (чел.) - стало в комнате, когда вышли 4 человека.

х-7+3-4+8 (чел.) - стало вкомнате 29 человек, когда вошли 8 человек, по условию задачи.

Тогда:

х-7+3-4+8=29

х+0=29

х=29 (чел.) - было в комнате первоначально.

Проверка:

29-7+3-4+8=29 (чел.) - стало в комнате.

ответ: 29чел.

или

29 чел. - стало в комнате, по условию задачи.

29-8=21 (чел.) - на 8 человек было меньше в комнате до того, как вошли в комнату 8 человек, из  условия задачи.

21+4=25 (чел.) - на 4 человека было больше в комнате  до того, как вышли из комнаты 4 человека, из условия задачи.

25-3=22 (чел.) - на 3 человека было меньше в комнате до того, как вошли в комнату 3 человека, их условия задачи.

22+7=29 (чел.) - на 7 человек было больше в комнате до того, как вышли из комнаты 7 человек, из условия задачи.  

Тогда: 29 (чел.) - было в комнате первоначально, из условия задачи.

ответ: 29 чел.