77 плиток .
Пошаговое объяснение:
Поскольку при выкладывании по 13 и по 14 плиток в ряд прямоугольников не получается, а остаются неполные ряды, то количество плиток делится на 13 и на 14 с остатками.
Остаток от деления любого числа на 13 не может быть больше 12. По условию это число на 11 больше, чем остаток от деления на 14. Но остаток от деления на 14 тоже не равен нулю. Значит, остаток от деления на 13 может быть равен только 12. А остаток от деления на 14 равен 1.
Общее количество плиток меньше 100, иначе их хватило бы на квадратную площадку со стороной в 10 плиток. Среди чисел меньше 100 надо найти такое, которое делится на 13 с остатком 12 и на 14 с остатком 1. Проверив все числа в пределах 100, делящиеся на 14 с остатком 1, получим ответ: 77 плиток.
Пусть х км/ч - собственная скорость теплохода, тогда (х + 4) км/ч - скорость теплохода по течению реки, (х - 4) км/ч - скорость теплохода против течения реки. 14 - 8 = 6 ч - время движения теплохода. Уравнение:
70/(х+4) + 70/(х-4) = 6
70 · (х - 4) + 70 · (х + 4) = 6 · (х + 4) · (х - 4)
70х - 280 + 70х + 280 = 6 · (х² - 4²)
140х = 6х² - 96
6х² - 140х - 96 = 0
D = b² - 4ac = (-140)² - 4 · 6 · (-96) = 19600 + 2304 = 21904
√D = √21904 = 148
х₁ = (140-148)/(2·6) = (-8)/12 = -2/3 (не подходит, так как < 0)
х₂ = (140+148)/(2·6) = 288/12 = 24
ответ: 24 км/ч - собственная скорость теплохода.
Проверка:
70 : (24 + 4) = 2,5 ч - время движения по течению реки
70 : (24 - 4) = 3,5 ч - время движения против течения реки
2,5 ч + 3,5 ч = 6 ч - время движения на теплоходе + 8 ч стоянка = 14 ч
