Доказательство.
Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 — пересекающиеся прямые в плоскости α , а b1 и b2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости β .
Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть, они пересекаются по некоторой прямой c .
Прямая a1 параллельна прямой b1 , значит, она параллельна и самой плоскости β .
Прямая a2 параллельна прямой b2 , значит, она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).
Прямая c принадлежит плоскости α , значит, хотя бы одна из прямых — a1 или a2 — пересекает прямую c , то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β , значит, пересекая прямую c , прямая a1 или a2 пересекает плоскость β , чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β .
Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть, они параллельны.
Свойства параллельных плоскостей
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Δ АВС - равностороний ( все углы равны ∠А=∠В=∠С=60°) ⇒
АВ=ВС=АС
Δ DBE - равностороний ( все стороны равны DB=BE=DE) ⇒
∠ DBE=∠BED=∠EDB=60°
AB || DE так как внутренние накрест лежащие углы равны
∠ ABD =∠BDE=60°
∠CDE=180°-∠BDE=180°-60°=120°⇒∠CDE+∠CAD=180°
Продолжим DE до пересечения с АС в точке К
В четырехугольнике АВЕК
∠ АКЕ=360°-∠САВ-∠АВE-BED=360°-60°-(60°+60°)-60°=120°
Четырехугольник АВЕК - параллелограмм, противоположные углы равны.
⇒ BE=AK
По условию BE=AF ⇒ AK=AF и Δ AKF - равнобедренный,
с углом при вершине 60°
Значит, Δ AKF - равносторонний.
KF=AF=BE
KFBE - равнобедренная трапеция
∠ FKD=60°
∠BFK=120°
Четырехугольник KFBD - параллелограмм, противоположные углы равны.
FB=KD
FK=BD
и тогда FB=KD
О т в е т. ∠CDE+∠CAD=180°
