Незнайка утверждает, что в компании, состоящей из а) 2019; б)2020 человек, по
крайней мере двое имеют одинаковое число знакомых среди членов этой компании.
Прав ли Незнайка?

Расстояние от хорды до параллельной ей касательной есть перпендикуляр. Надо доказать, что радиус, проведенный к точке касания перпендикулярен хорде. доказывается по свойствам углов, образованных двумя параллельными и секущей к ним. Если мы соединим концы хорды с центром окружности , то
получим два прямоугольных треугольника, у которых общая сторона - радиус, пересекающий хорду. Эти треугольники равны по равенству катета и гипотенузы. Следовательно точка пересечения радиуса и хорды делит хорду пополам.
Далее по теореме Пифагора находим отрезок радиуса, соединяющего центр окружности и точку пересечения радиуса с хордой и вычитаем его из радиуса. Находим искомое расстояние.

Угол В тупой, может быть только при вершине; проведем биссектрису и высоту ВВ1; проведем высоту АА1 на продолжение стороны СВ; угол АА1В=90гр.; продолжим биссектрису В1В и высоту АА1 до пересечения в т. Д; в тр-ке АВС уголВАВ1=(180-110):2=35 гр.; в тр-ке АА1В уг.АВА1=180-110=70гр.(смежный с уг.В); в тр-ке АА1В уг. А1АВ=90-70=20гр. (по св-ву острых углов прямоуг. тр-ка; отсюда уг. А1АВ1=35+20=55гр.; в прямоуг. тр-ке АДВ1 искомый уг. Д между биссектрисой В1Д и высотой АД=90-55=35гр. (по св-ву острых углов прямоуг. тр-ка.) ответ: 35гр.