Знайти миттєву швидкість точки, яка рухається за законом s(t) = 1/3t3 +4t+1 (час t вимірюється у секундах, шлях s – у метрах) через 3с після початку руху.

Находим точки пересечения парабол:
2x^2-6x+1=-x^2+x-1.
Получаем квадратное уравнение:
3x^2-7x+2 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-7)^2-4*3*2=49-4*3*2=49-12*2=49-24=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√25-(-7))/(2*3)=(5-(-7))/(2*3)=(5+7)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;
x_2=(-√25-(-7))/(2*3)=(-5-(-7))/(2*3)=(-5+7)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3 ≈ 0.33333
Для интегрирования надо из верхней параболы вычесть нижнюю:
-x^2+x-1-(2x^2-6x+1) = -3х²+7х-2.
S = -x³ + (7/2)x² -2x|((1/3)⇒2) = 2,31481.

Находим точки пересечения парабол:
2x^2-6x+1=-x^2+x-1.
Получаем квадратное уравнение:
3x^2-7x+2 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-7)^2-4*3*2=49-4*3*2=49-12*2=49-24=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√25-(-7))/(2*3)=(5-(-7))/(2*3)=(5+7)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;
x_2=(-√25-(-7))/(2*3)=(-5-(-7))/(2*3)=(-5+7)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3 ≈ 0.33333
Для интегрирования надо из верхней параболы вычесть нижнюю:
-x^2+x-1-(2x^2-6x+1) = -3х²+7х-2.
S = -x³ + (7/2)x² -2x|((1/3)⇒2) = 2,31481.