Користуючись методом інтегрування частинами, знайдіть неви-
значені інтеграли:

1) ∫(4 x−1)e4 xdx
2) ∫x8 lnx dx
3) ∫(6 x +7)cosx dx

Пример. Решим систему уравнений:
{3x+y=7−5x+2y=3Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
{y=7—3x−5x+2(7−3x)=3Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
−5x+2(7−3x)=3⇒−5x+14−6x=3⇒⇒−11x=−11⇒x=1Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
y=7−3⋅1⇒y=4Пара (1;4) — решение системыСистемы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.Решение систем линейных уравнений сложенияРассмотрим еще один решения систем линейных уравнений сложения. При решении систем этим как и при решении подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.Последовательность действий при решении системы линейных уравнений сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
{2x+3y=−5x−3y=38В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
{3x=33x−3y=38Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение x−3y=38 получим уравнение с переменной y: 11−3y=38. Решим это уравнение:
−3y=27⇒y=−9Таким образом мы нашли решение системмы уравнений сложения: x=11;y=−9 или (11;−9)Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. 

ответ: y = x + C/x

Пошаговое объяснение:

y' + (y / x) = 2

Диф уравнение первого порядка

Введем новую переменную z = y - x

и приведем у равнение к уравнению с разделяющимися переменными

Та как z = y - x, то  y = z + x

                                y' = z' + 1

Следовательно можно записать

z' + 1 + ((z+x) / x) = 2

z' + 1 + (z/ x) + 1 = 2

           z' + (z/ x) = 0

                      z' = - z/ x

                    z'/z = -1/ x

                  dz/z  = -dx/x

Интегрируем обе части уравнения

                    ln(z) = -ln(x) + ln(C)

                    ln(z) = ln(C/x)

                        z = C/x

Находим исходную функцию у

                   y = z + x = x+C/x