Комбинаторика. На столе лежат 33 монеты достоинствами 2, 5, и 10 рублей. У каждого из двух игроков имеется неограниченный запас монет по 1, 2 и 5 рублей. Они ходят по очереди. За один ход можно разменять одну из монет, лежащих на столе, на монеты меньшего достоинства. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе победу.

х : у = 2 : 5 - отношение х к у

у : z = 3 : 4 - отношение у к z

Домножим первое отношение на 0,6 (чтобы уравнять у)

х : у = (2·0,6) : (5·0,6) = 1,2 : 3 - отношение х к у

х : у : z = 1,2 : 3 : 4 - отношение трёх слагаемых

Пусть k - коэффициент пропорциональности, тогда х = 1,2k, у = 3k, z = 4k. Сумма трёх чисел равна 123. Уравнение:

1,2k + 3k + 4k = 123

8,2k = 123

k = 123 : 8,2

k = 15

x = 1,2 · 15 = 18 - первое слагаемое

у = 3 · 15 = 45 - второе слагаемое

z = 4 · 15 = 60 - третье слагаемое

ответ: 123 = 18 + 45 + 60.

x        y       z        B        42 Определитель

5      -1        1       -3  

-1      3        1       -1  

2      1        4       1  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:      

-3   -1   1  -42 Определитель

-1   3   1    

1   1   4    

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:      

5       -3        1  -42 Определитель

-1       -1      1    

2        1        4    

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:      

5       -1     -3  42 Определитель

-1       3      -1    

2       1        1    

x = -42 /  42 =  -1  

y = -42 /  42 =  -1  

z = 42 / 42 = 1.

Определители проще находить методом "параллельных полосок".

Вот первый из них.

5      -1       1|        5       -1

-1      3       1|       -1         3

2       1      4|        2         1   =

= 60 -2 -1 - 4 - 5 - 6 = 42.