м 24 см - 18
10 ч 6 мин. 23
27 км 15 м. 32
14 мин 27 с. 19​

Даны координаты вершин пирамиды АВСD :

А(-5;-1;8), В(2;3;1), С(4;1;-2), D(6;3;7).

Найти: 1. Длину | вектор |АВ| = √((2-(-5))² + (3-(-1))² + (1-8)²) =

            √(49 + 16 + 49) = √114 ≈ 10,67708.  

2. Величину угла  между векторами АВ и АС.

Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.

Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147.

cos(AB_AC) = (7*9+4*2+(-7)*(-10))/(√114*√185) = 141/√21090 =  

             = 141/145,223965 ≈ 0,970914133 .

Угол равен arc cos (141/√21090) = 0,241777  радиан или 13,85278  градуса.

3. Площадь грани АСD,

Находим векторы АС и АD.

Вектор АC = (9; 2; -10) определён в п. 1. Модуль = √185 ≈ 13,60147.

Вектор АD = (11; 4; -1), √(121+16+1) = √138 ≈ 11,74734.

Площадь грани ACD равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AC*AD|.

 i        j       k|       i        j

9      2    -10|      9      2

11      4      -1|     11      4   =   -2i - 110j + 36k + 9j + 40i - 22k =

                                        =   38i - 101j + 14k = (38; -101; 14).

Модуль равен √(38² + (-101)² + 14²) = √11841  ≈ 108,8163591 .

Площадь S = (1/2)*√11841  = 54,40817953 .

4. Объем АВСD(объем пирамиды ).

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.

Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147. (см. п. 2).

i        j       k|       i        j

7      4      -7|       7      4

9      2     -10|     9      2   =   -40i - 63j + 14k + 70j +1 4i - 36k =

                                        =   -26i + 7j - 22k = (-26; 7; -22).

Модуль равен √((-26)² + 7² + (-22)²) = √1209  ≈ 34,7706773 .

5. Уравнение стороны ВС. Вектор ВС = (2; -2; -3).

(x - 2)/2 = (y - 3)/(-2) = (z - 1)/(-3).

6. Уравнение грани АВD по точкам А(-5;-1;8), В(2;3;1), D(6;3;7).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA          y - yA         z - zA

xB - xA         yB - yA         zB - zA

xC - xA         yC - yA          zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-5)       y - (-1)              z - 8

2 - (-5)       3 - (-1)      1 - 8

6 - (-5)       3 - (-1)       7 - 8

 = 0

x - (-5) y - (-1) z - 8

7 4 -7

11 4 -1

 = 0

x - (-5)  4·(-1)-(-7)·4  -  y - (-1)  7·(-1)-(-7)·11  +  z - 8  7·4-4·11  = 0

24 x - (-5)  + (-70) y - (-1)  + (-16) z - 8  = 0

24x - 70y - 16z + 178 = 0  или, сократив на 2

12x - 35y - 8z + 89 = 0 .

7.Уравнение высоты СН к грани АВD .

Нормальный вектор плоскости АВД принимаем из её уравнения:

АВД = (12; -35; -8).

Тогда уравнение высоты СН:

(x - 4)/12 = (y - 1)/(-35) = (z + 2)/(-8).

Решите примеры( расписывая):

а) 3 1/2 - 5/9= ( три целых одна вторая минус пять девятых) =
(2•3+1)/2 - 5/9= 7/2 - 5/9=
(7•9)/(2•9) - (5•2)/(9•2)= 63/18- 10/18=53/18= 2ц 17/18;

б) 1 1/4- 1/3=( одна целая одна четвёртая минус одна третья) =
(4•1+1)/4 - 1/3= 5/4- 1/3=
(5•3)/(4•3) - (1•4)/(3•4)=

15/12 - 4/12= 11/12.

в) 1 13/15-2/5=(одна целая тринадцать пятнадцатых минус две пятых) =
(15•1+13)/15 - 2/5=
28/15 - 2/5= 28/15 - (2•3)/(5•3)=

28/15 - 6/15= 22/15= 1 ц 7/15;

г) 1 1/3-5/6=( одна целая одна третья минус пять шестых) =
(3•1+1)/3 - 5/6=
4/3 - 5/6= (4•2)/(3•2) - 5/6=
8/6 - 5/6= 2/6= 1/3.
(2/6 сократили; поделили числитель на 2 и знаменатель на 2; =1/3);

д) 3 9/25- 1 9/10=( три целых девять двадцать пятых минус одна целая девять десятых) =
(25•3+9)/25 - (10•1+9)/10= 84/25 - 19/10= (84•2)/(25•2) - (19•5)/(10•5)=
168/50 - 95/50= 73/50 = 1ц 23/50;

е) 3 1/8 - 1/6=( три целых одна восьмая минус одна шестая)=
(8•3+1)/8 - 1/6= 25/8 - 1/6=
(25•3)/(8•3) - (1•4)/(6•4)=
75/24 - 4/24= 71/24= 2ц 23/24;

Решите задачу( по действиям): От стоянки до первого светофора автомобиль ехал 2/3 ч, а до второго светофора -на 1/6 ч меньше. Сколько времени затратил автомобиль на движение от стоянки до второго светофора , если на первом светофоре он стоял 1/30 ч?
Дано:
1путь от стоянки до 1светофора =2/3часа;
Стоял на 1светофоре = 1/30ч;
Второй путь. От 1 до второго = на 1/6ч меньше;
Общий путь. От стоянки до второго светофора=? Часов;
1час =60минут; переведём в минуты;

1)) 2/3часа= 60:3•2= 40мин время все (вместе с стоял) до 1светофора;

2)) 1/30ч= 60:30•1=2мин стоял на светофоре;

3)) 40-2=38мин в движении, значит это время ехал;

4)) 1/6часа=60:6•1=10минут это меньше проехал от 1до 2 светофора;

5)) 38-10=28мин ехал от 1 до второго светофора;

6)) 38+28= 66мин= 1час 6мин время, когда ехал от стоянки до 2 светофора);

В дробях
1)) 2/3ч - 1/30ч= (2•10)/(3•10) - 1/30= 20/30- 1/30= 19/30ч ехал (вычли время что стоял) от стоянки до 1 светофора;

2)) 19/30ч - 1/6ч = 19/30- (1•5)/(6•5)= 19/30- 5/30= 14/30часа ехал от 1 до 2 светофора;

3)) 19/30+ 14/30= 33/30ч = 1 3/30= 1 1/10= 1,1часов ехал от стоянки до 2 светофора;

ответ: автомобиль от стоянки до второго светофора затратил на движение 1,1часа или 1 час 6минут.