Сторони двох подібних многокутників відповідно дорівнюють 3 см і 4 см, а площа одного з них менша від площі іншого на 9 см квадратних. Знайти площі многокутників

В скобке правой части сумма арифметической прогрессии с разностью, равной 1 и первым членом 1, ее сумма равна (1+n)*n/2, поскольку скобка справа в квадрате, то (1 + 2 + ... + n)²= ((1+n)*n/2)²=
(1+n)²*n²/4, значит, нужно доказать, что 1³ + 2³ + ... + n³ = (1+n)²*n²/4,
1. Берем n=1 /база/, проверяем справедливость равенства.1³=2²*1²/4=1
2. Предполагаем, что для n=к равенство выполняется.
т.е. 1³ + 2³ + ... + к³ = (1+к)²*к²/4
3. Докажем, что для n= к+1 равенство выполняется. т.е., что
1³ + 2³ + ... + (к+1)³ = (1+к)²*(2+к)²/4
(1³ + 2³ + ... к³)+ (к+1)³ =(1+к)²*к²/4+ (к+1)³=(к+1)²*(к²+4к+4)/4=(1+к)²*(2+к)²/4

Вот доказательство математической индукцией

Забудь о той наркомании, что я писала Треуг ВОС - равнобедренный с углом 120°. Проводим в нем высоту(она же биссек). Sin 60°=1/2осн/большая часть медианы.. кор.из3/2=3/большую часть медианы...большая часть медианы=2*кор.из3.. проведем среднюю линию теругольника - МК, получим треугольник МАК подобный АВС, коэффициент подобия : 1/2. Значит МК=1/2ВС=3. Рассмотрим треуг МОК. Там та же самая медина, которая биссек. Sin60°=1/2MK/меньшую часть медианы..кор.из3/2=1,5/меньшую часть медианы... меньшая часть медианы=кор.из3. Вся медиана = меньшая+ большая часть. Вся медиана=кор.из3+2*кор.из3=3 *кор.из3