В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 2, а боковая грань наклонена к основанию под углом 45.

Найти:

а) площадь боковой поверхности пирамиды;

б) расстояние от центра основания до боковой грани

2.В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60. Найти площадь сечения пирамиды, если оно проходит через середины двух ребер основания пирамиды и перпендикулярно основанию.

Проведем высоты. Прямоугольные треугольники AED и BFC равны по гипотенузе и катету (AD = BC = 4 по условию, DE = CF - высоты трапеции). Поэтому AE = FB.

EFCD - параллелограмм (СD || EF - основания трапеции, DE || CF - так как это перпендикуляры, проведённые к одной прямой AB). Значит, EF = CD.

AB = AE + EF + FB = 2 AE + CD, откуда AE = (AB - CD)/2 = (8 - 4)/2 = 2.

Рассмотрим треугольник AED. Он прямоугольный, и в нём известны гипотенуза AD = 4 и катет AE = 2. Тогда по теореме Пифагора DE = √(AD² - AE²) = 2√(2² - 1²) = 2√3.

ответ. 2√3

Определение: 
Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой. 

Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Пусть данная призма АВСDA₁B₁C₁D₁  
 Грани АВСD и A₁B₁C₁D₁  - трапеции, остальные грани призмы  - перпендикулярные к плоскости оснований прямоугольники.  
  Объем призмы равен произведению площади основания призмы на  её  высоту. По условию S (АА₁D₁D)=12 см²  и  S (BB₁C₁C)=8 см²   
Расстояние между параллельными боковыми гранями  дано СН=5 м.  Думаю, это ошибка.   
 Решение дается для СН = 5 см   Площадь  трапеции, основания призмы,  и  длина бокового ребра , т.е. высоты призмы -неизвестны.  Для решения задачи применим дополнительное построение.  Достроим призму до параллелепипеда  АКМDD₁А₁К₁М₁ 
 Из В, С, В₁  и С₁  проведем перпендикуляры к большей боковой грани.   Получился прямоугольный параллелепипед  с площадью грани В1С1СВ = 8 см²  и высотой к ней СТ=5 см  Его объем 8*5=40 см³   Объем параллелепипеда АКМDD₁А₁К₁М₁ равен площади большей грани на  СТ=12*5=60 см³
 Диагональные сечения "пристроенных" сбоку от меньшего параллелепипеда  призм  делят их пополам. Половина разности  объемов этих призм является  лишней, (см. рисунок).   Пусть объем большего параллелепипеда равен V₁, объём меньшего V₂ , объем  данной по условию призмы -V.   Тогда V= V₂+(V₁ -V₂):2  V (ACDD₁ A₁ B₁ C₁ )=40+(60-40):2=50 см³
 ----- 
  Для расстояния между параллельными боковыми гранями равном 5 м=500 см объём будет в 100 раз больше и будет равен 
 V=5000 см³ или 0,005 м³----- 
 Для расстояния 5 м=500 см объём будет в 100 раз больше и будет равен
5000 см³ или 0,005 м³