Zadanie 4 (Задание 4)
Найдите количество деревьев на n вершинах, в которых степень каждой вершины не больше 2.
n=1 => дерево состоит из одной вершины степени 0.
n>=2 => 1] Вершины степени 0 быть не может (иначе граф несвязный). Значит степень вершин либо 1, либо 2. 2] существует простая цепь, являющаяся подграфом дерева.
Тогда будем достраивать дерево из цепи. Ребро - простая цепь.
Алгоритм:
Изначально есть ребро <u,v>. Степени концов цепи - вершин u и v - равны 1.
Если на данном шаге число вершин в графе равно n - получен один из искомых графов, больше его не изменяем.
Если же число вершин < n, добавляем ребро.
На 1ом шаге мы можем добавить либо ребро <u,a>, либо ребро <a,v>. Без нарушения общности, добавим <u,a>. У нас все еще простая цепь. При этом у концов a и v степень 1, а у всех остальных вершин, здесь это вершина u, - 2, и к ним ребра присоединить уже нельзя. Повторяя подобные операции, будем получать на каждом шаге простую цепь.
На n вершинах можно построить ровно одну простую цепь. А значит и число искомых деревьев равно 1 .
Zadanie 5 (Задание 5)
Покажите, что для графа G=[V,E] с k компонентами связности верно неравенство 
Введем обозначения 
Разобьем граф на компоненты связности. Для каждой компоненты, очевидно, верно неравенство 
. Просуммировав неравенства для каждой из k компонент, получим 
.
Оценка снизу получена.
Лемма: Граф имеет максимальное число ребер, если он имеет k-1 тривиальную компоненту связности и 1 компоненту, являющуюся полным графом. И действительно. Пусть 
– компоненты связности, 
. Тогда при "переносе" одной вершины из 
в 
число ребер увеличится на 
– а значит такая "конфигурация" неоптимальная, и несколькими преобразованиями сводится к указанной в лемме. А тогда максимальное число ребер в графе равно 
Оценка сверху получена.
Zadanie 6 (Задание 6)
Проверьте, являются ли следующие последовательности графическими, обоснуйте ответ
Решение в приложении к ответу
Интересно узнать, в каком доме мы живём? Наш дом — планета Земля, где воздух, которым мы дышим, вода, которую мы пьём, земля, по которой мы ходим и которая нас кормит. Многие люди полностью погрязли в своей работе, развлечениях и ничего вокруг не видят. Хотя, пора уже открыть глаза и увидеть, что наш дом близок к разрушению. И никто в этом не виноват, кроме каждого из нас.
40% людей в мире умирают из-за загрязнения окружающей среды, а именно воды, почвы и воздуха. Эти экологические проблемы в сочетании с быстрым приростом населения приводят к увеличению числа заболеваний, сообщается в пресс-релизе Корнелльского университета.
Американские исследователи-экологи 6 лет изучали природные изменения. По срока заявили – жить в чистоте больше нельзя, на планете загрязнено все, что можно.
Благодаря исследованию, стоимостью в шесть миллионов долларов, удалось выяснить, что токсичные отходы промышленной деятельности успели загрязнить уже все. По заверениям ученых, на территории 20 национальных парков США встречается как минимум 70 разновидностей отравляющих веществ.
Майкл Кент, профессор-естествоиспытатель из Университета штата Орегон, осуждает грязные намерения токсичных веществ загрязнять все, на чем свет стоит. «Трудно найти более удаленные районы, чем северные области Аляски и вершины Скалистых гор, но и там мы нашли загрязняющие вещества», – поясняет ученый.
В Тихом океане ужасающе быстро разрастается "суп из пластика" - плавающая полоса мусора, и, по словам ученых, к данному моменту вдвое превышает по площади континентальную часть США.
Еще в 2004 году "остров" весил примерно 3 млн тонн - это в шесть раз больше количества природного планктона. И по размерам соответствовал территории Центральной Европы. Спустя четыре года "остров" на плаву заметно "поправился".
В последние годы из-за возросшей угрозы здоровью человека, всё более пристальное внимание привлекает загрязнение окружающей среды выбросами двигателей внутреннего сгорания.
Огромный ущерб окружающей среде, и как следствие человеку, наносят выбросы в атмосферу от промышленных и энергетических объектов и автомобильного транспорта. Эти выбросы содержат такие вредные вещества, как: серный ангидрид, окись азота, окись углерода, пыль, свинец и другие тяжелые металлы.
